Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

106 Capítulo 2: Límites y continuidad
La medición en radianes aparece en la
ecuación (2): el área del sector OAP es
u>2
sólo si u se mide en radianes.
Podemos expresar estas áreas en términos de u como sigue:
Por lo tanto,
Esta última desigualdad no se altera si dividimos los tres términos entre el número
( 1>2)
sen u, que es positivo, ya que 0 6 u 6 p>2:
Las desigualdades se invierten al tomar recíprocos:
Dado que límu:0 (ejemplo 6b, sección 2.2), el teorema del sandwich nos da
+ cos u = 1
Recuerde que tanto sen u como u son funciones impares (sección 1.4). Por lo tanto,
ƒsud = ssen ud>u es una función par, con una gráfica simétrica respecto del eje y (vea la figura
2.29). Esta simetría implica que existe límite lateral izquierdo en 0, y tiene el mismo
valor que el límite lateral derecho:
así, de acuerdo con el teorema 6, límu:0 ssen ud>u = 1 .
EJEMPLO 5 Usando
Probar que (a) y (b)
lím
cos h - 1
= 0
h
Solución
Área ¢OAP = 1
1
1
base * altura = s1dssen ud = sen u
2 2 2
Área sector OAP = 1
2 r2 u = 1
2 s1d2 u = u
2
Área ¢OAT = 1
1
1
base * altura = s1dstan ud = tan u.
2 2 2
h:0
sen u
lím
u:0 u
1 1 1
sen u 6 u 6 tan u.
2 2 2
1 6 u
sen u
1 7
sen u
lím-
u:0 u
sen u
lím+
u:0 u
= 1
sen u
u
(a) Utilizando la fórmula del ángulo medio, cos h = 1 - 2 sen calculamos
2sh>2d, cos h - 1
lím
h:0 h
6 1
cos u .
7 cos u.
= 1.
sen u
= 1 = lím+
u:0 u ,
sen 2x
lím
x:0 5x
= 2
5 .
= lím -
h:0 2 sen2 sh>2d
h
sen u
= - lím sen u
u:0 u
= -s1ds0d = 0.
(2)
Sea u = h>2.