Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

1
0.5
–1 0
–0.5
–1
y
y xe –x
1 2 3 4
FIGURA 8.1 La región del ejemplo 6.
x
Ahora la integral desconocida aparece en ambos lados de la ecuación. Sumando la integral
a ambos lados y agregando la constante de integración se obtiene
2 L e x cos x dx = e x sen x + e x cos x + C1.
Dividiendo entre 2 y renombrando la constante de integración se obtiene
L ex cos x dx = ex sen x + ex cos x
2
Integración por partes para integrales definidas
8.2 Integración por partes 565
+ C.
La fórmula de integración por partes de la ecuación (1) puede combinarse con la parte 2
del Teorema Fundamental para evaluar por partes integrales definidas. Suponiendo que ƒ¿
y g¿ son continuas en el intervalo [a, b], la parte 2 del Teorema Fundamental da
Fórmula de integración por partes para integrales definidas
b
b
ƒsxdg¿sxd dx = ƒsxdgsxdD a - ƒ¿sxdgsxd dx
La
La
Al aplicar la ecuación (3), por lo regular utilizamos la notación u y v de la ecuación
(2), ya que es más fácil de recordar. A continuación se da un ejemplo de ello.
EJEMPLO 6 Determinación del área
Determinar el área de la región acotada por la curva y = xe y el eje x, de x = 0 a x = 4.
-x
Solución La región aparece sombreada en la figura 8.1. Su área es
Sea u = x, dy = e y du = dx. Entonces,
-x dx, y = -e-x L0
4
xe -x dx = -xe -xD 0
L0
4
-
L0
= [-4e -4 - s0d] +
L0
= -4e -4 - e -x 4
D 0
4
xe -x dx.
4
s -e -x d dx
= -4e -4 - e -4 - s -e 0 d = 1 - 5e -4 L 0.91.
Integración tabular
Hemos visto que las integrales de la forma 1 ƒsxdgsxd dx, en las que f puede diferenciarse
de forma repetida hasta volverse cero y g puede integrarse varias veces sin dificultad, son
candidatas naturales para integrarse por partes. Sin embargo, si se requieren muchas repeticiones,
los cálculos pueden volverse pesados. En situaciones como ésta, existe una mane-
4
b
e -x dx
(3)