Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Obser
vador
Globo
d
0.14 rad/min
dt
cuando /4
500 pies
dy
?
y dt
cuando /4
FIGURA 3.43 La razón de cambio de la
altura del globo está relacionada con la
razón de cambio del ángulo que forman el
observador y el suelo (ejemplo 2).
El nivel del líquido bajará a razón de
La ecuación dh>dt = -3>pr muestra cómo la razón a la que el nivel del líquido baja,
depende del radio del tanque. Si r es pequeño, dh>dt será grande; si r es grande, dh>dt
será pequeño.
2
3>spr 2d m>min.
Si r = 1 m: dh
dt =-3 p
Si r = 10 m: dh
dt
=- 3
100p
3.7 Razones de cambio o tasas relacionadas 215
L -0.95 m>min = -95 cm>min.
L -0.0095 m>min = -0.95 cm>min.
Estrategia para resolver problemas de razones de cambio
o tasas relacionadas
1. Hacer un dibujo y dar nombre a las variables y a las constantes. Use t para el
tiempo. Suponga que todas las variables son funciones diferenciables de t.
2. Escribir la información numérica (en términos de los símbolos que haya
escogido).
3. Escribir lo que se pide encontrar (usualmente una razón de cambio expresada
como derivada).
4. Escribir una ecuación que relacione las variables. Puede combinar dos o más
ecuaciones para obtener una sola ecuación que relacione la variable cuya razón
quiere averiguar con las variables cuyas razones conoce.
5. Derivar con respecto a t. Exprese la razón que le interesa determinar en términos
de la razón y las variables cuyos valores conoce.
6. Evaluar. Use los valores que conoce para encontrar la razón desconocida.
EJEMPLO 2 Un globo ascendente
Un globo de aire caliente que asciende en línea recta desde el nivel del suelo es rastreado
por un observador que está a 500 pies del punto de elevación. En el momento que el ángulo
de elevación del observador es p>4, el ángulo crece a razón de 0.14 rad> min. ¿Qué tan
rápido se está elevando el globo en ese momento?
Solución Para responder la pregunta anterior, realizamos los seis pasos de la estrategia
anterior.
1. Hacemos un dibujo y damos nombre a las variables y a las constantes (figura 3.43).
Las variables en el dibujo son
u = el ángulo, en radianes, que forma el observador con respecto al suelo.
y = la altura del globo, en pies.
Sea t el tiempo en minutos, y supongamos que u y y son funciones diferenciables de t.
En el dibujo, la constante es la distancia entre el observador y el punto de despegue
del globo (500 pies). No es necesario nombrarla con un símbolo especial.
2. Escribimos la información numérica adicional.
du
p
= 0.14 rad>min cuando u =
dt 4
3. Escribimos lo que se pide encontrar. Queremos determinar dy>dt en el instante en que
u = p>4.