Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

y
y = 1
2 c-ƒsxd ; 2-3 a 3 x
-
C
3
En el ejemplo 4 fue mucho más fácil usar diferenciación implícita que calcular dy>dx
directamente a partir de las fórmulas anteriores. Para encontrar las pendientes en curvas
definidas por ecuaciones de grado superior, por lo general, se requiere diferenciación implícita.
Derivadas de orden superior
También podemos usar la diferenciación implícita para encontrar derivadas de orden superior.
Veamos un ejemplo.
EJEMPLO 5 Encontrar implícitamente una segunda derivada
Encontrar si 2x3 - 3y 2 d = 8.
2y>dx2 Solución Para empezar, derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a x para encontrar
y¿ =dy>dx.
Ahora aplicamos la regla del cociente para encontrar y– .
Tratar y como una función de x.
Resolver para y¿ .
Finalmente, sustituimos y¿ =x para expresar y– en términos de x y y.
2 >y
Potencias racionales de funciones diferenciables
Sabemos que la regla
d
dx A2x3 - 3y 2 B = d
dx s8d
y– = d
dx ax2
y b = 2xy - x2 y¿
y 2
y– = 2x
y
6x 2 - 6yy¿ =0
x 2 - yy¿ =0
- x2
y
y
2 ax2
2 + x
B
6
4 - 27x3 3 x
- -
C
3
2 - x
B
6
4 - 27x3 bd.
y¿ = x2
y , cuando y Z 0
b = 2x
y
d
dx xn n - 1
= nx
3.6 Diferenciación implícita 209
= 2x
y
- x2
y 2 # y¿
x4
- , cuando y Z 0
3 y
se satisface cuando n es un entero. Usando diferenciación implícita podemos probar que
también se satisface cuando n es cualquier número racional.
TEOREMA 4 Regla de potencias para potencias racionales
Si es un número racional, entonces es diferenciable en todo punto interior
del dominio de x y
sp>qd - 1 x
,
p>q
p>q
d
dx xp>q = p
q xsp>qd - 1 .