Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

110 Capítulo 2: Límites y continuidad
2
1
0
y
y 2
sen x
x
p
p 2p 3p 3p 2p
FIGURA 2.35 Una curva puede cruzar
una de sus asíntotas una infinidad de veces
(ejemplo 11).
x
Decimos que el eje x es un asíntota horizontal de la gráfica de ƒsxd = 1>x.
DEFINICIÓN Asíntota horizontal
Una recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfica de una función y = f(x),
si se satisface alguna de las condiciones siguientes
La curva
lím ƒsxd = b o lím ƒsxd = b.
x: q x: -q
trazada en la figura 2.33 (ejemplo 8), tiene como asíntota horizontal, tanto a la derecha como
a la izquierda, la recta y = 5/3, ya que
EJEMPLO 10 Sustitución de una nueva variable
Encontrar
lím
x: q
sen s1>xd.
5
5
lím ƒsxd = y lím ƒsxd =
x: q 3 x: -q 3 .
Solución Introducimos una nueva variable, De acuerdo con el ejemplo 6, sabemos
que t : 0 cuando x : q (vea la figura 2.31). Por lo tanto,
+
t = 1>x.
lím
x: q sen 1 x
Otra aplicación del teorema del sandwich
El teorema del sandwich también se cumple para límites cuando x : ; q .
EJEMPLO 11 Una curva puede atravesar su asíntota horizontal
Usar el teorema del sandwich para encontrar la asíntota horizontal de la curva
Solución Estamos interesados en lo que ocurra cuando x : ; q . Como
y límx:;q ƒ 1>x ƒ = 0, de acuerdo con el teorema del sandwich tenemos que
ssen xd>x = 0.
En consecuencia,
lím
x: ;q
ƒsxd = 5x2 + 8x - 3
3x 2 + 2
y = 2 +
= lím sen t = 0.
+ t:0
sen x
x .
sen x
0 … ` x ` … ` 1 x `
sen x
a2 + x b = 2 + 0 = 2,
límx:;q
y la recta y = 2 es una asíntota horizontal de la curva, tanto a la izquierda como a la derecha
(figura 2.35).