Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

668 Capítulo 9: Aplicaciones adicionales de integración
dH
dt
dH
0 0
dt
15
FIGURA 9.13 Primer paso en la
construcción de la línea de fase para la ley
de enfriamiento de Newton del ejemplo 3.
A la larga, la temperatura tiende al valor de
equilibrio (la del medio que lo rodea).
dH
dt
0
d
0
2H dt2 15
dH
dt
0
d
0
2H dt2 FIGURA 9.14 La línea de fase completa
para la ley de enfriamiento de Newton
(ejemplo 3).
15
H
Temperatura
inicial
Temperatura
inicial
Temperatura
del medio
circundante
FIGURA 9.15 Temperatura contra
tiempo. Sin importar la temperatura inicial,
la temperatura del objeto, H(t), tiende
hacia 15°C, la temperatura del medio que
lo rodea.
t
H
H
A continuación se presentan varios ejemplos aplicados para los que podemos bosquejar
una familia de curvas solución para la ecuación diferencial por medio del método del
ejemplo 2.
En la sección 7.5 resolvimos de manera analítica la ecuación diferencial
dH
dt
que modela la ley de enfriamiento de Newton. Aquí, H es la temperatura (cantidad de calor)
de un objeto en el instante t, y HS es la temperatura constante del entorno que rodea al
objeto. Nuestro primer ejemplo utiliza un análisis de línea de fase para ilustrar el comportamiento
gráfico de este modelo de temperatura sobre el tiempo.
= -ksH - HSd, k 7 0
EJEMPLO 3 Enfriando la sopa
¿Qué le sucede a la temperatura de la sopa cuando un tazón de sopa caliente se coloca sobre
una mesa en una habitación? Sabemos que la sopa se enfría, pero, ¿cómo se ve una
curva típica de la temperatura como una función del tiempo?
Solución Suponga que el medio ambiente tiene una temperatura constante de 15°C.
Entonces podemos expresar la diferencia de temperaturas como H(t) – 15. Suponiendo
que H es una función diferenciable del tiempo t, de acuerdo con la ley de enfriamiento de
Newton existe una constante de proporcionalidad k 7 0 tal que
dH
= -ksH - 15d
(1)
dt
(menos k para obtener una derivada negativa cuando H 7 15).
Como dH>dt = 0 en H = 15, la temperatura 15°C es un valor de equilibrio. Si
H 7 15, la ecuación (1) indica que sH - 15d 7 0 y dH>dt 6 0. Si el objeto está más caliente
que la habitación, se enfriará. De manera similar, si H 6 15 entonces sH - 15d 6 0
y dH>dt 7 0. Un objeto más frío que la habitación se calentará. Así, el comportamiento
descrito por medio de la ecuación (1) coincide con nuestra intuición respecto a cómo debe
comportase la temperatura. Estas observaciones se capturan en el diagrama de línea de fase
inicial de la figura 9.13. El valor H = 15 es un equilibrio estable.
Determinamos la concavidad de las curvas solución, derivando ambos lados de la
ecuación (1) respecto de t:
d
dt adH
d
b = s -ksH - 15dd
dt dt
d 2H dH
= -k 2 dt dt .
Como es negativa, vemos que d es positiva cuando dH>dt 6 0,
y negativa
cuando dH>dt 7 0. La figura 9.14 agrega esta información a la línea de fase.
La línea de fase completa, muestra que si la temperatura del objeto está por arriba del
valor de equilibrio de 15°C, la gráfica de H(t) disminuirá y será cóncava hacia arriba. Si la
temperatura está por abajo de 15°C (la temperatura del medio ambiente), la gráfica de H(t)
aumentará y será cóncava hacia abajo. Utilizamos esta información para bosquejar curvas
solución típicas (figura 9.15).
Con base en la curva solución superior de la figura 9.15, vemos que cuando el objeto
se enfría, la razón a la que lo hace disminuye, ya que dH> dt se aproxima a cero. Esta observación
está implícita en la ley de enfriamiento de Newton, y forma parte de la ecuación
diferencial, pero el aplanamiento de la gráfica cuando el tiempo avanza proporciona una
representación visual inmediata del fenómeno. La capacidad para discernir sobre el comportamiento
físico de las gráficas es una herramienta poderosa para la comprensión de sistemas
reales.
2H>dt 2
-k