Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

372 Capítulo 5: Integración
EJEMPLO 5 Uso de identidades y sustitución
El éxito del método de sustitución depende de encontrar una sustitución que cambie
una integral que no podemos evaluar directamente por una que sí podamos. Si la primera
sustitución falla, intente simplificar más el integrando con una o dos sustituciones adicionales
(vea los ejercicios 49 y 50). Si no se tiene éxito se puede intentar otro tipo de
sustitución. Es posible que haya varias formas correctas de proceder, como en el ejemplo
siguiente.
EJEMPLO 6 Uso de distintas sustituciones
Evaluar
Solución Podemos usar el método de sustitución de integración como una herramienta
exploratoria: sustituimos la parte más problemática del integrando y vemos qué sucede.
Para esta integral, podemos intentar u = z o incluso poner a prueba nuestra suerte y
tomar u como toda la raíz cúbica. He aquí lo que pasa en cada caso.
2 + 1
Solución 1: Sustituimos u = z2 + 1.
L
L
1
cos 2 2x dx = L sec2 2x dx
L
2z dz
2 3 z2 + 1 = L du
u1>3 = L sec 2 u # 1
2 du
= 1
2 L sec 2 u du
= 1
tan u + C
2
= 1
tan 2x + C
2
2z dz
2 3 z 2 + 1 .
= L u -1>3 du
= u2>3
2>3
+ C
= 3
2 u2>3 + C
= 3
2 sz2 + 1d 2>3 + C
1
= sec 2x
cos 2x
u = 2x,
du = 2 dx,
dx = s1>2d du
d
du tan u = sec2 u
u = 2x
Sea u = z
du = 2z dz .
2 + 1,
En la forma 1un du
Integrar con respecto de u.
Reemplazar u por z 2 + 1.