Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

9.1 Campos de pendientes y ecuaciones diferenciables separables 643
Una solución de la ecuación (1) es una función diferenciable y = ysxd
definida en un
intervalo I (tal vez infinito) de valores de x, tal que
en ese intervalo. Esto es, cuando y(x) y su derivada y¿sxd se sustituyen en la ecuación (1),
la ecuación resultante es verdadera para todos los valores de x en el intervalo I. La solución
general para la ecuación diferencial de primer orden incluye todas las soluciones posibles.
La solución general siempre incluye una constante arbitraria, pero el que tenga esta
propiedad no significa que dicha solución sea la solución general. Es decir, una solución
puede incluir una constante arbitraria sin ser la solución general. Para establecer que una
solución es la solución general, podrían necesitarse resultados más profundos de la teoría
de ecuaciones diferenciales; dichos resultados se estudian en un curso de cálculo avanzado.
EJEMPLO 1 Verificación de funciones solución
Demostrar que cada miembro de la familia de funciones
es una solución de la ecuación diferencial de primer orden
dy
dx = 1 x s2 - yd
en el intervalo (0, q), en donde C es cualquier constante.
Solución Derivando y = C>x + 2 se obtiene
dy
dx
d
ysxd = ƒsx, ysxdd
dx
y = C x
d
= C
dx a1x b + 0 =-C . 2 x
En consecuencia, sólo necesitamos verificar que para toda x H s0, q d,
- C
x 2 = 1 x c2 - aC x
Esta última ecuación se obtiene inmediatamente, desarrollando la expresión del lado
derecho:
1 x c2 - a C x + 2b d = 1 x a- C x
+ 2b d.
b =-C . 2 x
Por lo tanto, para todo valor de C, la función y = C>x + 2 es una solución de la ecuación
diferencial.
Como en el caso de hallar antiderivadas, con frecuencia necesitamos una solución
particular en lugar de la solución general de la ecuación diferencial de primer orden
y¿ =ƒsx, yd. La solución particular que satisface la condición inicial ysx0d = y0 es la
solución y = ysxd,
cuyo valor es y0 cuando x = x0. Así, la gráfica de la solución particular
pasa por el punto (x0, y0) en el plano xy. Un problema de primer orden con valor inicial
es una ecuación diferencial y¿ =ƒsx, yd cuya solución debe satisfacer una condición inicial
ysx0d = y0.
+ 2
EJEMPLO 2 Verificación de que una función es una solución particular
Demostrar que la función
y = sx + 1d - 1
3 ex