Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

B
0
y
x 0
y f(x)
x 0 d x 0 d
FIGURA 2.40 f(x) tiende al infinito
conforme x : x0.
0
B
y
x0 d x0 d
x0 y f(x)
FIGURA 2.41 f(x) tiende a menos infinito
conforme x : x0.
x
x
2.5 Límites infinitos y asíntotas verticales 117
ubique arbitrariamente lejos del origen. Excepto por este cambio, el lenguaje es idéntico al
que hemos visto antes. Las figuras 2.40 y 2.41 ilustran estas definiciones.
DEFINICIONES Infinito y menos infinito como límites
1. Decimos que f(x) tiende al infinito cuando x se aproxima a x 0, y escribimos
lím ƒsxd = q ,
x:x0
si para todo número real positivo B existe un correspondiente d > 0 tal que
para toda x
0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d Q ƒsxd 7 B.
2. Decimos que f(x) tiende a menos infinito cuando x se aproxima a x 0, y escribimos
lím ƒsxd = -q ,
x:x0
si para todo número real –B existe un correspondiente d > 0 tal que para toda x
0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d Q ƒsxd 6 -B.
Las definiciones precisas de los límites laterales infinitos en x 0 son similares y se establecen
en los ejercicios.
EJEMPLO 4 Aplicación de la definición de límites infinitos
Probar que lím
x:0 1
x2 = q .
Solución Dada B 7 0, queremos encontrar d 7 0 tal que
Ahora,
o, de manera equivalente,
En consecuencia, eligiendo d = 1> 2 B (o cualquier número positivo menor), vemos que
Por lo tanto, de acuerdo con la definición,
0 6 ƒ x - 0 ƒ 6 d implique 1
7 B. 2 x
1
x 2 7 B si y sólo si x2 6 1
B
ƒ x ƒ 6 1
2 B .
ƒ x ƒ 6 d implique 1 1
7 Ú B.
2 2 x d
lím
x:0 1
x2 = q .