Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

TABLA 7.1 Valores comunes de
ln x, con dos decimales
x ln x
0 no definido
0.05
-3.00
0.5
-0.69
1 0
2 0.69
3 1.10
4 1.39
10 2.30
1
y
Si 0 x 1, entonces ln x
1
dt
1
t
t
dt
L1 Lx
da el negativo de esta área.
0 x 1
x
1
Si x 1, entonces ln x
1
t
dt 0.
1
y ln x
x
Si x 1, entonces ln x dt
da esta área. 1
1 t
L
y ln x
L
x
7.2 Logaritmos naturales 477
y 1 x
FIGURA 7.9 La gráfica de y = ln x y su relación
con la función y = 1>x, x 7 0. La gráfica del
logaritmo se eleva por arriba del eje x cuando x se
mueve de 1 hacia la derecha y desciende por
debajo del eje x cuando x se mueve de 1 hacia la
izquierda.
En la figura 7.9 se muestra la gráfica de y = 1>x;
observe, sin embargo, que utilizamos
y = 1>t en la integral. De haber empleado x en todas las variables, habríamos escrito
ln x =
L1
1 x dx,
donde x tendría dos significados diferentes. Por eso usamos a t como variable de integración.
Al utilizar rectángulos para obtener aproximaciones finitas del área que está debajo
de la gráfica de y = 1>t y sobre el intervalo entre t = 1 y t = x, como en la sección 5.1,
podemos aproximar los valores de la función ln x. En la tabla 7.1 se dan varios valores especiales.
Existe un número importante cuyo logaritmo natural es igual a 1.
DEFINICIÓN El número e
El número e es aquel que está en el dominio del logaritmo natural y que satisface
x
ln (e) = 1
De manera geométrica, el número e corresponde al punto del eje x para el que el área
debajo de la gráfica de y = 1>t
y sobre el intervalo [1, e] tiene el área exacta de una
unidad cuadrada. En la figura 7.9, el área de la región sombreada en azul es una unidad
cuadrada cuando x = e.
1
x