Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

7.7 Funciones trigonométricas inversas 525
Sin importar cuál deducción utilicemos, es necesario que la derivada de y = sen –1 x
con respecto de x es
d
dx ssen-1 xd =
1
.
2 21 - x
Si u es una función diferenciable de x con ƒ u ƒ 6 1, aplicamos la regla de la cadena
para obtener
d
dx ssen-1 ud =
1
21 - u
d
dx stan-1 ud =
dx , ƒuƒ 6 1.
2 du
EJEMPLO 7 Aplicación de la fórmula de la derivada
d
dx ssen-1 x 2 d =
Derivada de y = tan-1 u
Determinamos la derivada de y = tan –1 x aplicando el teorema 1 con f (x) = tan x y f –1 (x) =
tan –1 x. El teorema 1 puede aplicarse, ya que la derivada de tan x es positiva para
-p>2 6 x 6 p>2.
sƒ -1 d¿sxd =
=
=
=
1
21 - sx2d2 # d
dx sx2d =
1
ƒ¿sƒ -1 sxdd
1
sec 2 stan -1 xd
1
1 + tan 2 stan -1 xd
1
1 + x 2
1 du
2 1 + u dx .
Teorema 1
ƒ¿sud = sec 2 u
sec 2 u = 1 + tan 2 u
tan stan -1 xd = x
La derivada está definida para todos los números reales. Si u es una función diferenciable
de x, obtenemos la forma de la regla de la cadena:
EJEMPLO 8 Una partícula en movimiento
2x
21 - x 4
Una partícula se mueve a lo largo del eje x, de modo que su posición en cualquier instante
es xstd = tan ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando t = 16?
-1 t Ú 0
2t.
Solución
ystd = d
dt tan-1 1t =
1
1 + (1t) 2 # d
1t =
dt
1 # 1
1 + t 21t