Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

BIOGRAFÍA HISTÓRICA
George David Birkhoff
(1884-1944)
Reducir una fracción impropia por medio de la división de polinomios o, también llamada,
división larga (ejemplo 5) no siempre lleva a una expresión que podamos integrar
de manera directa. En la sección 8.5 veremos qué hacer al respecto.
EJEMPLO 6 Separación de una fracción
Evaluar
Solución Primero separamos el integrando para obtener
3x + 2
L 21 - x
En la primera de estas nuevas integrales, sustituimos
2 dx = 3 x dx
L 21 - x2 + 2 dx
.
2 L 21 - x
La segunda de las integrales nuevas es una forma estándar,
Combinando estos resultados y renombrando a C 1 + C 2 como C se obtiene
En el último ejemplo de esta sección calcularemos una integral importante por medio
de la técnica algebraica de multiplicar el integrando por una forma de 1 para cambiar el integrando
por otro que podamos integrar.
EJEMPLO 7 Integral de y = sec x,
multiplicando por una forma de 1
Evaluar
Solución
3 L
x dx
21 - x 2 = 3 L
L sec x dx = L ssec xds1d dx = L sec x #
= L sec2 x + sec x tan x
sec x + tan x
= L du u
L
u = 1 - x 2 , du = -2x dx, y x dx =- 1
2 du.
=- 3 # u1>2
2 1>2 + C1 = -321 - x2 + C1
2 L
L
s -1>2d du
1u
dx
21 - x 2 = 2 sen-1 x + C2.
3x + 2
21 - x 2 dx = -321 - x2 + 2 sen -1 x + C.
sec x dx.
L
dx
3x + 2
dx.
2 21 - x
=- 3
2 L u -1>2 du
sec x + tan x
sec x + tan x dx
= ln ƒ u ƒ + C = ln ƒ sec x + tan x ƒ + C.
8.1 Fórmulas básicas de integración 557
du = ssec 2 u = tan x + sec x,
x + sec x tan xd dx