Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

394 Capítulo 5: Integración
Por ejemplo, estimemos la suma de las raíces cuadradas de los
primeros n enteros positivos, 21 + 22 + La integral
Á + 2n.
es el límite de las sumas superiores
Por lo tanto, cuando n es grande, estará cerca de 2>3 y tendremos
Suma de las raíces
La siguiente tabla muestra qué tan buena puede ser la aproximación.
n Suma de las raíces s2>3dn Error relativo
3>2
10 22.468 21.082 1.386>22.468 L 6%
50 239.04 235.70 1.4%
100 671.46 666.67 0.7%
1000 21,097 21,082 0.07%
23. Evalúe
1
Sn = # 1 2
A n n + # 1
A n n + Á n
+ # 1
A n n
0
probando que el límite es
y evaluando la integral.
24. Vea el ejercicio 23. Evalúe
y
L0
1
1x dx = 2
3 x3>2 1
d =
0
2
3
= 21 + 22 + Á + 2n
n 3>2
.
y x
1 2
n 1 1
n n
n
Sn
= 21 + 22 + Á + 2n = Sn # n 3>2 L 2
3 n3/2 .
lím
n: q 15 + 2 5 + 3 5 + Á + n 5
n6 1
x
L0
5 dx
lím
n: q 1
n 4 s13 + 23 + 33 + Á + n3d. x
25. Sea f (x) una función continua. Exprese
como una integral definida.
26. Use la regla de Leibniz para evaluar
a.
b.
c. lím
n: q
¿Qué se puede decir de los siguientes límites?
1 n asen p n + sen 2p n + sen 3p n + Á + sen np n b .
d.
e.
lím
n: q 1 n cƒ a1n b + ƒ a2 n b + Á + ƒ a n n bd
lím
n: q 1
n2 s2 + 4 + 6 + Á + 2nd,
lím
n: q 1
n16 s115 + 215 + 315 + Á + n15d, lím
n: q 1
n 17 s115 + 2 15 + 3 15 + Á + n 15 d
lím
n: q 1
n15 s115 + 2 15 + 3 15 + Á + n 15 d
27. a. Demuestre que el área An de un polígono regular de n lados en
un círculo de radio r es
b. Encuentre el límite de cuando ¿Es esta respuesta
consistente con lo que sabemos acerca del área de un círculo?
28. Una ecuación diferencial Pruebe que
1 satisface las dos condiciones siguientes:
i. y– =-sen x + 2 sen 2x
ii. y = 1 y y¿ =-2cuando
x = p.
29. Una función definida por una integral Como se muestra a
continuación, la gráfica de una función f consiste en un semi-
x
círculo y dos segmentos de recta. Sea gsxd = 1 ƒstd dt.
p
An n : q .
y = sen x +
x cos 2t dt + 1
y f(x)
–3
An = nr2
2 sen 2p n .
3
1
–1 –1
y
1 3
a. Encuentre g(1). b. Encuentre g(3). c. Encuentre gs -1d.
d. Encuentre todos los valores de x en el intervalo abierto
s -3, 4d en donde g tiene un máximo relativo.
e. Escriba una ecuación para la recta tangente a la gráfica de g
en x = -1.
f. Encuentre la coordenada x de cada punto de inflexión de la
gráfica de g en el intervalo abierto s -3, 4d.
g. Encuentre el rango de g.
x