Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

EJERCICIOS 9.4
Líneas de fase y curvas solución
En los ejercicios 1 a 8, realice lo que se pida.
a. Identifique los valores de equilibrio. ¿Cuáles son estables y
cuáles son inestables?
b. Construya una línea de fase. Identifique los signos de y¿ y y– .
c. Haga un bosquejo de las curvas solución.
1. 2.
3.
dy
dx
4.
= y 3 dy
= s y + 2ds y - 3d
dx
- y
5. y¿ =2y, y 7 0
6. y¿ =y - 2y, y 7 0
7. 8. y¿ =y 3 - y 2
y¿ =s y - 1ds y - 2ds y - 3d
Modelos de crecimiento poblacional
Las ecuaciones diferenciales autónomas de los ejercicios 9 a 12 representan
modelos para crecimiento poblacional. Para cada ejercicio, utilice
un análisis de línea de fase para hacer un bosquejo de las curvas
solución para P(t), seleccionando diferentes valores de inicio, P(0)
(como en el ejemplo 5). ¿Cuáles equilibrios son estables y cuáles son
inestables?
dP
9. = 1 - 2P
10.
dt
dP
dt
11. 12. dP
dP
= 2PsP - 3d
dt dt
9.4 Soluciones gráficas de ecuaciones diferenciales autónomas 671
Las rectas y dividen al primer cuadrante del plano tP en bandas horizontales
en las que conocemos los signos de dP dt y d En cada banda, sabemos
cómo ascienden y descienden las curvas solución y como es su concavidad conforme pasa
el tiempo. Las rectas de equilibrio P = 0 y P = M son curvas de población. Las curvas
de población cruzan la recta P = M>2 tienen un punto de inflexión allí, dándoles una forma
sigmoidea (curvadas en dos direcciones como una letra S). La figura 9.22 muestra
curvas típicas de población.
2P>dt 2 P = M>2 P = M
>
.
dy
dx = y 2 dy
dx
- 2y
= y 2 - 4
= Ps1 - 2Pd
Población
= 3Ps1 - Pd aP - 1
2 b
M
M
2
P
Tiempo
FIGURA 9.22 Curvas de población del ejemplo 5.
Población
límite
13. Catastrófica continuación del ejemplo 5 Suponga que una
población saludable de alguna especie crece en una ambiente limitado
y que la población actual, P0, está bastante cercana a la capacidad
de sustentación M0. Tal situación podría presentarse, por
ejemplo, en una población de peces que viven en un lago de agua
dulce en un parque natural. Repentinamente, una catástrofe, como
la erupción volcánica del monte Santa Elena, contamina el lago y
destruye una parte significativa del alimento y el oxígeno de los
que dependen los peces. El resultado es un nuevo ambiente con
una capacidad de sustentación M1, es decir, considerablemente
menor que M0 y, de hecho, menor que la población actual, P0. Iniciando
en algún instante antes de la catástrofe, haga un bosquejo
de una curva “antes y después” para ilustrar la manera en que la
población de peces responde al cambio en el ambiente.
14. Control de una población El departamento de caza y pesca deportivas
de cierto estado planea emitir permisos de caza para controlar
la población de venados (un ciervo por permiso). Se sabe
que si la población de venados cae por debajo de cierto nivel m, la
especie se extinguirá. También se sabe que si la población de venados
crece por arriba de la capacidad de sustentación M, la población
se reducirá a M, a consecuencia de enfermedades y mala nutrición.
a. Analice la sensatez del modelo siguiente para calcular la tasa
de crecimiento de la población de venados como una función
del tiempo:
dP
dt
= rPsM - PdsP - md,
donde P es la población de venados y r es una constante de
proporcionalidad positiva. Incluya una línea de fase.
t