Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

382 Capítulo 5: Integración
y
2 (g(y), y)
1
0
x y 2
y
f(y) g(y)
( f(y), y)
y 0 2 4
(4, 2)
x y 2
FIGURA 5.32 Si se integra respecto
de x, es necesario hacer dos integrales
para encontrar el área de esta región.
Si se integra respecto de y (ejemplo 6),
hay que hacer solamente una integral.
x
Para regiones como éstas
x g(y)
d
usamos la fórmula
c
0
y y
x f(y)
x
En esta ecuación f siempre denota la curva de la derecha y g la curva de la izquierda, de
manera que ƒs yd - gs yd es no negativo.
EJEMPLO 6 Determinación del área de la región del ejemplo 5 integrando
respecto de y.
Solución Primero trazamos la región y un rectángulo horizontal típico, basándonos en
una partición del intervalo de valores de y (figura 5.32). La cota derecha de la región es la
recta de manera que La cota izquierda de la región es la curva
de manera que El límite inferior de integración es Para encontrar
el límite superior, resolvemos simultáneamente y x = y para y: 2
gs yd = y y = 0.
x = y + 2
2 x = y .
2 x = y + 2,
ƒs yd = y + 2.
,
Reescribir.
Factorizar.
Resolver.
El límite superior de integración es b = 2. (El valor y = -1da
un punto de intersección
debajo del eje x).
El área de la región es
b
x g(y)
A = [ƒs yd - gs yd] dy.
Lc
y + 2 = y 2
y 2 - y - 2 = 0
s y + 1ds y - 2d = 0
y = -1, y = 2
A = [ƒs yd - gs yd] dy = [y + 2 - y
La
L0
2 ] dy
= [2 + y - y
L0
2 ] dy
= c2y +
= 4 + 4
2
- 8
3
Éste es el resultado del ejemplo 5, encontrado con menos trabajo.
d
c
0
d
x f(y)
2
2
x
y 2
2
d
0
c
y
x g(y)
3 y
-
3 d 2
0
= 10
3 .
x f(y)
Igualar y
gsyd = y 2 ƒsyd = y + 2
.
x