Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

78 Capítulo 2: Límites y continuidad
1
1
2
1
2
1
y
0 1
y
0 1
y f(x) x2 1
x 1
y x 1
FIGURA 2.4 La gráfica de f es
idéntica a la recta y = x + 1 excepto
en el punto x = 1, donde f no está
definida (ejemplo 5).
x
x
Por lo tanto, la gráfica de f es la recta y = x + 1 sin el punto (1, 2). En la figura 2.4 se indica
dicho punto eliminado mediante un círculo vacio o “hueco”. Aun cuando f(1) no está
definida, es claro que podemos determinar el valor de f(x) tan cerca como queramos de 2,
eligiendo un valor de x lo suficientemente cercano a 1 (tabla 2.2).
TABLA 2.2 Cuando x está más cerca de 1, ƒ(x) (x 2 1)/(x 1)
parece estar más cerca de 2
Valores de x arriba y debajo de 1 ƒ(x)
0.9 1.9
1.1 2.1
0.99 1.99
1.01 2.01
0.999 1.999
1.001 2.001
0.999999 1.999999
1.000001 2.000001
1
2
1
y
0 1
x
1
2
1
y
0 1
x2 ⎧ 1
⎪ x 1
⎨
⎪
⎩ 1,
(a) f(x)
x
(b) g(x)
2 1
x 1
,
x
x 1
x 1
x 2 1
x 1
x 1, x 1
Decimos que el límite de f(x) se acerca a 2 a medida que x se aproxima a 1, y escribimos
lím ƒsxd = 2, o lím
x:1 x:1 x2 - 1
x - 1
= 2.
EJEMPLO 6 El valor límite no depende de cómo se define la función en
En la figura 2.5, la función f tiene límite 2 cuando x : 1 a pesar de que f no está definida en
x = 1. La función g tiene límite 2 a medida que x : 1 aun cuando 2 Z gs1d. La función
h es la única cuyo límite es x : 1 igual a su valor en x = 1. Tenemos que para h,
1
2
1
y
0 1
(c) h(x) x 1
FIGURA 2.5 Los límites de f(x), g(x) y h(x) son iguales a 2 conforme x se acerca a 1.
Sin embargo, solamente h(x) tiene el mismo valor de la función que su límite en el
punto x = 1 (ejemplo 6).
x0
x