Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

T
a. Dibuje la gráfica de f. Determine los intervalos en los que f es
creciente, los intervalos en que f es decreciente y los valores
extremos locales y en dónde ocurren.
b. Evalúe
para n = 1, 2, 3.
c. Proporcione un argumento convincente de que
(Sugerencia: Demuestre que 0 6 ƒsxd 6 e para x 7 1, y
para b 7 1,
-x>2
Lb
q
e ).
-x>2 dx : 0 cuando b : q
78. El siguiente argumento concluye que ln 3 es igual a q - q .
¿Cuál es el error en el argumento? Justifique su respuesta.
ln 3 = ln 1 + ln 3 = ln 1 - ln 1
3
= lím
b: q
b
x - 2
= lím cln
b: q x d
3
= lím
b: q cln sx - 2d - ln x d b
3
= lím
b: qL3 =
L3
q
q
L
q
-q
L
b
= lím
b: q cln sx - 2d d b
- lím
3 b: q cln x d =
L3
1
x - 2
b
3
dx - L3
1 x dx
= q - q .
n
-n
ƒsxd dx
ƒsxd dx = 1.
- 2
ln ab b - ln
b
1
3
1
a
x - 2 - 1 x b dx
1
a
x - 2 - 1 x b dx
79. Demuestre que si f (x) es integrable en todo intervalo de números
reales, y a y b son números reales con a 6 b, entonces
Capítulo 8 Preguntas de repaso
1. ¿Qué fórmulas básicas de integración conoce?
2. ¿Cuáles procedimientos conoce para transformar integrales en
fórmulas básicas de integración?
3. ¿Qué es la integración por partes? ¿De dónde surge? ¿Por qué podríamos
necesitarla?
q
a. Tanto como convergen si y sólo si
y convergen.
b. 1
cuando todas las integrales convergen.
a
-q ƒsxd dx + 1 q
a ƒsxd dx = 1 b
-q ƒsxd dx + 1 q
1
b ƒsxd dx
q
1 b ƒsxd dx
b
1
-q ƒsxd dx
q
1 a ƒsxd dx
a
-q ƒsxd dx
80. a. Demuestre que si f es par y existen las integrales necesarias,
entonces
b. Muestre que si f es impar y existen las integrales necesarias,
entonces
Utilice la evaluación directa, criterios de comparación y los resultados
del ejercicio 80, según sea adecuado, para determinar la convergencia
o divergencia de las integrales en los ejercicios 81 a 88. Si se puede
aplicar más de un método, emplee el que usted prefiera.
q
81. 82.
83. 84.
85. 86.
87.
88.
(Sugerencia: ).
q
x dx
L-q
sx 2 + 1dsx 2 ƒ ƒ ƒ ƒ sen u + cos u Ú sen
+ 2d
2 u + cos 2 ƒ ƒ ƒ ƒ
ƒ ƒ
q
L-q
dx
sx + 1d
q sen x + cos x
dx
L-q
x + 1
u
2
q
e
L-q
-ƒ x ƒ q
L-q
dx
e -x dx
x 2 q
dx
L-q
e + 1
x + e -x
dx
L-q
2x 6 dx
L-q
2x + 1
2 + 1
EXPLORACIONES CON COMPUTADORA
Exploración de las integrales de xp ln x
En los ejercicios 89 a 92, utilice un software matemático para explorar
las integrales para diferentes valores de p (incluyendo números no enteros).
¿Para cuáles valores de p la integral converge? ¿Cuál es el valor
de la integral cuando converge? Trace la gráfica del integrando para
varios valores de p.
e
L
L
89.
q
90.
91.
L0
x 92.
L
p x
L0
Le
ln x dx
p ln x dx
q
-q
Capítulo 8 Preguntas de repaso 633
ƒsxd dx = 2
L0
q
-q
q
ƒsxd dx = 0.
q
q
q
-q
ƒsxd dx.
x p ln x dx
x p ln ƒ x ƒ dx
4. Cuando se aplica la fórmula de integración por partes, ¿cómo se
selecciona u y dv? ¿Cómo puede aplicar la integración por partes
a una integral de la forma 1 ƒsxd dx?
5. ¿Qué es la integración tabular? Proporcione un ejemplo.
6. ¿Cuál es el objetivo del método de las fracciones parciales?