Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

2
3
0
3
2 0
y
(a)
y
(b)
y
(1, 3)
x2 x 2
x2 x
1
1
y
x
2
x
(1, 3)
FIGURA 2.8 La gráfica de
f(x) = (x 2 + x – 2)/(x 2 – x) de la parte (a) es
la misma gráfica de g(x) = (x + 2)/x de la
parte (b), excepto en el punto x = 1, donde
f no está definida. Las funciones tienen el
mismo límite conforme x : 1 (ejemplo 3).
x
x
Solución No podemos sustituir x = 1, ya que obtendríamos un denominador igual a cero.
Por otro lado, evaluamos el numerador en x = 1 para ver si también es igual a cero. Lo es,
así que tiene a (x – 1) como factor común con el denominador. Al eliminar (x – 1) obtenemos
una fracción más simple con los mismos valores que la original para x Z 1:
Usando la fracción más simple, encontramos por sustitución el límite de estos valores
cuando x : 1:
Vea la figura 2.8.
EJEMPLO 4 Crear y eliminar un factor común
Evaluar
Solución Éste es el límite que consideramos en el ejemplo 10 de la sección anterior. No
podemos sustituir x = 0, y el numerador y el denominador no tienen factores comunes
obvios. Podemos crear un factor común multiplicando ambos, numerador y denominador,
por la expresión 2x (que se obtiene al cambiar el signo que aparece des-
2 + 100 + 10
pués de la raíz cuadrada). Para racionalizar el numerador utilizamos primero propiedades
algebraicas:
2x2 + 100 - 10
x 2
Por lo tanto,
x 2 + x - 2
x 2 - x
=
=
=
Factor común x 2
Eliminar x 2 para x Z 0
Estos cálculos dan la respuesta correcta, a diferencia de los resultados ambiguos que obtuvimos
utilizando una computadora o calculadora en el ejemplo 10 de la sección anterior.
El teorema del sandwich
2.2 Cálculo de límites mediante las leyes de los límites 87
= sx - 1dsx + 2d
lím
x:1 x2 + x - 2
x2 - x
xsx - 1d
= 2x2 + 100 - 10
x 2
x 2
x2A 2x2 x
+ 100 + 10B
2 + 100 - 100
x2A 2x2 + 100 + 10B
1
2x 2 + 100 + 10 .
lím
x:0 2x2 + 100 - 10
x2 x + 2
= lím
x:1 x =
lím
x:0 2x2 + 100 - 10
.
# 2x2 + 100 + 10
2x 2 + 100 + 10
= lím
x:0
1
2x2 + 100 + 10
= 1
1
=
20
= 0.05.
20 2 + 100 + 10
El teorema siguiente nos permitirá calcular una variedad de límites en los capítulos subsecuentes.
Se le conoce como Teorema del sandwich, porque se refiere a una función f cuyos
x 2
= x + 2
x , si x Z 1.
1 + 2
1
= 3.
Denominador
distinto de 0 en
x = 0; sustituir