Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

96. La distancia entre un punto y una recta Podemos encontrar la
distancia entre un punto Psx0, y0d y la recta L: Ax + By = C siguiendo
los pasos que se describen a continuación (en la sección
12.5 veremos un método más rápido):
1. Encuentre la ecuación de la recta M que pasa por P y es perpendicular
a L.
2. Determine las coordenadas del punto Q en donde se intersecan
M y L.
1.3
x f
f(x)
Entrada
(dominio)
Funciones y sus gráficas
Salida
(rango)
FIGURA 1.22 Diagrama mostrando una
función como una especie de máquina.
1.3 Funciones y sus gráficas 19
Las funciones representan el principal objeto de análisis en el cálculo, ya que constituyen la
clave para describir el mundo real en términos matemáticos. En esta sección se repasa el
concepto de función, su graficación y las maneras de representarla.
Funciones, dominio y rango
3. Encuentre la distancia entre P y Q.
Emplee estos pasos para encontrar la distancia entre P y L en cada
uno de los siguientes casos.
a. Ps2, 1d, L : y = x + 2
b. Ps4, 6d, L : 4x + 3y = 12
c. Psa, bd, L : x = -1
d. Psx0, y0d, L : Ax + By = C
La temperatura a la que hierve el agua depende de la altura sobre el nivel del mar (el punto
de ebullición disminuye conforme se asciende). La tasa de interés que se paga por una
inversión monetaria depende de cuánto tiempo dure invertido el dinero. El área del círculo
depende de su radio. La distancia que viaja un objeto desde un punto inicial a lo largo de
una trayectoria recta depende de su velocidad.
En cada uno de estos casos, el valor de una cantidad variable, que podemos llamar y,
depende del valor de otra variable, que podemos llamar x. Debido a que el valor de y está
totalmente determinado por el valor de x, decimos que y es una función de x. Frecuentemente
el valor de y está dado por una regla o fórmula que nos indica cómo calcularlo a
partir de la variable x. Por ejemplo, la ecuación A = pr es una regla para calcular el área A
2
de un círculo a partir de su radio r.
En cálculo, es posible que en algún momento queramos referirnos a una función no
específica sin contar con una fórmula determinada. Una manera simbólica de decir “y es
una función de x”, consiste en escribir
y = ƒsxd s“y es igual a ƒ de x”d
En esta notación, el símbolo f representa la función. La letra x, denominada variable independiente,
representa el valor de entrada de f, y y, la variable dependiente, representa el
valor resultante de f en x.
DEFINICIÓN Función
Una función de un conjunto D a un conjunto Y es una regla que asigna un elemento
único ƒsxd H Y a cada elemento x H D.
El conjunto D de todos los valores de entrada posibles se llama dominio de la función.
El conjunto de todos los valores de ƒ(x) a medida que x varía en todo D se denomina
rango de la función. El rango puede no incluir todos los elementos del conjunto Y.
El dominio y el rango de una función pueden ser cualesquiera conjuntos de objetos,
pero en cálculo suelen ser conjuntos de números reales. (En los capítulos 13 a 16 veremos
que pueden involucrarse muchas variables).
Pensemos en una función f como una especie de máquina que produce un valor ƒ(x) en su
rango siempre que la “alimentemos” con un valor de entrada x de su dominio (figura 1.22).