Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

y
y f(x)
b f(a) (a, b)
0 a
x
7.1 Funciones inversas y sus derivadas 471
a f –1 (b)
0
y
(b, a)
Las pendientes son recíprocas: ( f –1 )'(b) o ( f –1 1
)'(b)
f'(a)
b
y f –1 (x)
FIGURA 7.6 Las gráficas de funciones inversas tienen pendientes
recíprocas en los puntos correspondientes.
x
1
f'( f –1 (b))
ciable en f (a). El teorema 1 proporciona las condiciones en las que ƒ es diferenciable en
su dominio, que es el mismo que el rango de f.
-1
TEOREMA 1 Regla de la derivada para inversas
Si f tiene un intervalo I como dominio y existe y nunca es cero en I, entonces
es derivable en cada punto de su dominio. El valor de en un punto
b del dominio de es el recíproco del valor de en el punto a = ƒ -1 ƒ ƒ¿
sbd:
-1
sƒ -1 ƒ d¿
-1
ƒ¿sxd
o
sƒ -1 d¿sbd =
dƒ -1
dx ` x = b
No hemos incluido la demostración del teorema, pero a continuación se presenta otra
forma de verlo. Cuando y = f (x) es diferenciable en x = a y modificamos x en una pequeña
cantidad dx, el cambio correspondiente en y es aproximadamente
Esto significa que y cambia más o menos veces tan rápido como x cuando x = a, y
que x cambia alrededor de veces tan rápido como y cuando y = b. Como vemos, es
razonable que la derivada de ƒ en b sea el recíproco de la derivada de f en a.
-1
ƒ¿sad
1>ƒ¿sad
EJEMPLO 4 Aplicación del teorema 1
1
ƒ¿sƒ -1 sbdd
= 1
dƒ
dx `
x = ƒ -1 sbd
dy = ƒ¿sad dx.
La función y su inversa tienen derivadas y
sƒ -1 ƒ ƒ¿sxd = 2x
d¿sxd = 1>s21xd.
-1 ƒsxd = x sxd = 1x
2 , x Ú 0
(1)