Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

400 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas
0
y
y
y x
y x
R(x) x
0 x
4
Disco
x
(a)
(b)
R(x) x
FIGURA 6.8 (a) La región y (b) el sólido
de revolución del ejemplo 4.
4
x
x
A este método para calcular el volumen de un sólido de revolución se le denomina con
frecuencia método de los discos, ya que la sección transversal es un disco circular con radio
R(x).
EJEMPLO 4 Un sólido de revolución (rotación alrededor del eje x)
La región entre la curva y = 2x, 0 … x … 4, y el eje x se hace girar alrededor del eje x
para generar un sólido. Determinar su volumen.
Solución Dibujamos figuras que muestren la región, un radio típico y el sólido generado
(figura 6.8). El volumen es
= 8p.
EJEMPLO 5 Volumen de una esfera
La circunferencia
x
se hacer girar alrededor del eje x para generar una esfera. Determinar el volumen de esta
última.
2 + y 2 = a2 Solución Imagine que cortamos la esfera en delgadas rebanadas por medio de planos
perpendiculares al eje x (figura 6.9). El área de la sección transversal en un punto representativo
x, entre y a es
Asxd = py
Por lo tanto, el volumen es
2 = psa 2 - x2 -a
d.
a
V =
La
=
L0
= p
L0
V = Asxd dx =
L-a
L
–a
b
4
pC 2x D 2 dx
a
-a
y
p[Rsxd] 2 dx
4
x dx = p x2
2 d 4
= p
0
s4d2
2
psa 2 - x 2 d dx = p ca 2 x - x3
3 d -a
x
(x, y)
x
A(x) (a 2 x 2 )
∆x
a
a
= 4
3 pa3 .
FIGURA 6.9 La esfera generada por la rotación de la circunferencia x 2 + y 2 = a 2
alrededor del eje x. El radio es Rsxd = y = 2a (ejemplo 5).
2 - x2 x
Rsxd = 2x