Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

432 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas
dy
4
(0, y)
–2 0 2
4 x 2
y
(a)
c.m.
24 y
4
y
y 4 x 2
–2 0
(b)
x
dx
2
x
y 4 x
Centro de masa
2
~~ ⎛ 4 x
(x, y) ⎝ 2
2
x,
FIGURA 6.38 Modelando la placa del
ejemplo 4 con (a) franjas horizontales
resulta en una integración inconveniente,
así que la modelamos con (b) franjas
verticales.
y
2
x
⎛ ⎝
Una franja vertical representativa tiene
El momento de la franja con respecto al eje x es
El momento de la placa con respecto al eje x es
La masa de la placa es
Por lo tanto,
centro de masa sc.m.d: s x ' , y ' d = ax,
largo: 4 - x 2
ancho: dx
área: dA = s4 - x 2 d dx
masa: dm = d dA = ds4 - x 2 d dx
distancia del c.m. al eje x: y ' =
' 4 - x
y dm = 2
2
Mx = L y ' dm = L
= d
2
L
M = L dm = L
y = Mx
M
El centro de masa de la placa es el punto
EJEMPLO 5 Placa con densidad variable
2
-2
# ds4 - x 2 d dx = d
2 s4 - x2 d 2 dx.
s16 - 8x 2 + x 4 d dx = 256
15 d.
2
-2
2
-2
d
2 s4 - x2 d 2 dx
ds4 - x 2 d dx = 32
3 d.
= s256>15d d
s32>3d d
sx, yd = a0, 8
b .
5
4 - x2
.
2
4 - x2
b
2
= 8
5 .
Determinar el centro de masa de la placa del ejemplo 4, si la densidad en el punto (x, y) es
d = 2x 2 , es decir, el doble del cuadrado de la distancia entre el punto y el eje y.
(7)
(8)