Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

T
T
306 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
18. Curvas que se intersecan
a. ¿Alguna vez cos 3x es igual a x? Justifique su respuesta.
b. Use el método de Newton para determinar en dónde.
19. Encuentre cuatro ceros reales de la función
+ 1.
8x 4 - 14x 3 - 9x 2 + 11x - 1 = 8sx - r1dsx - r2dsx - r3dsx - r4d.
2
y
–1 1 2
–2
–4
–6
–8
–10
–12
r1
y 8x 4 14x 3 9x 2 11x 1
1
0
y
r4
CPA
y x 2
1 2
Boya
Submarino
x
⎛2,
–
1
⎝ 2
ƒsxd = 2x 4 - 4x 2
20. Estimación de pi Estime con tantos decimales como pueda
desplegar su calculadora; use el método de Newton para resolver
la ecuación
21. ¿En qué valores de x,
22. ¿En qué valores de x,
23. Use el teorema del valor intermedio que se explicó en la sección
2.6 para probar que ƒsxd = x tiene una raíz entre
x = 1 y x = 2. Después encuentre la raíz con cinco lugares decimales.
24. Factorización de una ecuación de cuarto grado Encuentre los
valores aproximados de a en la factorización
3 T
p
tan x = 0 con x0 = 3.
cos x = 2x?
cos x = -x?
+ 2x - 4
25. Convergencia a distintos ceros Use el método de Newton para
encontrar los ceros de usando los valores iniciales
dados (figura 4.52).
a. y perteneciendo a
b. y perteneciendo a
c. y perteneciendo a
d. y
26. El problema de la boya de sonar Cuando se necesita localizar
un submarino, frecuentemente es necesario encontrar el punto
más cercano de la trayectoria entre éste y una boya de sonar (detector
de sonido) en el agua. Suponga que el submarino viaja por
la trayectoria de la parábola y = x y que la boya está localizada
en el punto s2, -1>2d.
2
ƒsxd = 4x
x0 = -2 x0 = -0.8,
A - q, - 22>2B
x0 = -0.5 x0 = 0.25,
A - 221>7,
221>7B
x0 = 0.8 x0 = 2,
A 22>2, q B
x0 = -221>7 x0 = 221>7
4 - 4x 2
T
⎛ ⎝
x
a. Demuestre que el valor de x que minimiza la distancia entre el
submarino y la boya es una solución de la ecuación
x = 1>sx 2 + 1d.
b. Resuelva la ecuación x = 1>sx con el método de
Newton.
2 + 1d
27. Curvas casi planas en la raíz Algunas curvas son tan planas
que, en la práctica, el método de Newton se detiene demasiado lejos
de la raíz para dar una estimación útil. Intente usar el método
de Newton en ƒsxd = sx - 1d con el valor inicial x0 = 2 para
ver qué tanto se acerca su calculadora a la raíz x = 1.
40
Pendiente –40
1
0
y
y (x 1) 40
Casi horizontal
28. Determinación de una raíz distinta de la buscada Las tres
raíces de ƒsxd = 4x se pueden encontrar empezando la
aplicación del método de Newton cerca de x = 221>7. Inténtelo.
(Vea la figura 4.52).
29. Determinación de la concentración de un ion Mientras se intenta
encontrar la acidez de una solución saturada de hidróxido de
magnesio en ácido hidroclórico, un investigador obtiene la ecuación
4 - 4x 2
3.64 * 10 -11
[H3 O+ ] 2 = [H3 O+ ] + 3.6 * 10 -4
para la concentración de iones de hidronio Para encontrar
el valor de determine x = 10 y convierta la
ecuación a
4 [H3 O+ [H3 ]
O+ [H3
],
O+ ].
x 3 + 3.6x 2 - 36.4 = 0.
(2, 1)
Ahora resuelva esta ecuación usando el método de Newton. ¿Qué
obtuvo para x? (Obtenga dos cifras decimales exactas). ¿Qué obtuvo
para
30. Raíces complejas Si tiene una calculadora o una computadora
que se pueda programar para realizar aritmética de números complejos,
experimente el método de Newton para resolver la ecuación
z La relación recursiva que hay que usar es
6 [H3
- 1 = 0.
O+ ]?
T
zn + 1 = zn -
Intente trabajar con estos valores iniciales (entre otros):
23 + i.
zn 6 - 1
6zn 5 o zn + 1 = 5
6 zn + 1
. 5
6zn
1
2
Pendiente 40
x
2, i,