Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

348 Capítulo 5: Integración
y
0 a
y
y f(x)
b
f(x) dx
a
y f(x)
(a) Ancho del intervalo cero:
a
L
0 a b
c
FIGURA 5.11
ƒsxd dx = 0.
La
(El área debajo de un punto es 0).
x
c
f(x) dx
bL
(d) Aditividad para integrales definidas:
b
c
ƒsxd dx + ƒsxd dx = ƒsxd dx
La
Lb
La
c
x
y
0 a b
(b) Múltiplo constante:
máx f
mín f
b
(Mostrado para k = 2).
y
y 2f(x)
y f(x)
kƒsxd dx = k ƒsxd dx.
La
La
0 a b
b
x
y f(x)
(e) Desigualdad máximo-mínimo:
mín ƒ # sb - ad … ƒsxd dx
La
… máx ƒ # sb - ad
b
x
Mientras que las reglas 1 y 2 son definiciones, las reglas 3 a 7 de la tabla 5.3 se deben
probar. Las pruebas se basan en la definición de integral definida como un límite de sumas
de Riemann. A continuación se prueba una de esas reglas. Se pueden dar pruebas similares
para las otras propiedades en la tabla 5.3.
Demostración de la regla 6 La regla 6 dice que la integral de f en [a, b] nunca es menor
que el valor mínimo de f por la longitud del intervalo, y nunca es mayor que el valor máximo
de f veces la longitud del intervalo. La razón es que para toda partición de [a, b] y cualquier
elección de los puntos ck,
n
mín ƒ # sb - ad = mín ƒ # a ¢xk
k = 1
y
0 a b
(c) Suma:
b
(Suma de áreas)
y
y f(x)
0 a b
n
= a mín ƒ # ¢xk
k = 1
n
… a ƒsckd ¢xk
k = 1
n
… a máx ƒ # ¢xk
k = 1
n
= máx ƒ # a ¢xk
k = 1
= máx ƒ # sb - ad.
y f (x) g(x)
y g(x)
y f (x)
sƒsxd + gsxdd dx = ƒsxd dx + gsxd dx
La
La
La
(f ) Dominación:
ƒsxd Ú gsxd en [a, b]
b
x
b
y g(x)
Q ƒsxd dx Ú gsxd dx
La
La
b
x
n
a ¢xk = b - a
k = 1
Regla del múltiplo constante
mín ƒ … ƒsckd
ƒsckd … máx f
Regla del múltiplo constante
b