Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

244
4.1
y cos x
–
2
1
–1
y
0
Capítulo
4
APLICACIONES DE
LAS DERIVADAS
INTRODUCCIÓN En este capítulo estudiaremos algunas de las importantes aplicaciones
de las derivadas. Aprenderemos cómo se usan para encontrar los valores extremos de funciones,
para determinar y analizar las formas de las gráficas, para calcular los límites de
fracciones cuyos numeradores y denominadores tienden a cero o a infinito, y para encontrar
numéricamente el punto en donde una función es igual a cero. También consideraremos
el proceso para recuperar una función a partir de su derivada. La clave para muchas
de estas acciones es el teorema del valor medio, un teorema cuyos corolarios representan
la entrada al cálculo integral que analizaremos en el capítulo 5.
Valores extremos de una ecuación
2
y sen x
FIGURA 4.1 Extremo absoluto para
las funciones seno y coseno en
[-p>2, p>2].
Estos valores pueden
depender del dominio de la función.
x
En esta sección se muestra cómo localizar e identificar valores extremos de una función
continua a partir de su derivada. Una vez que podamos hacerlo, seremos capaces de resolver
una gran variedad de problemas de optimización, en los cuales el objetivo es encontrar
el camino óptimo (el mejor) para hacer algo en la situación dada.
DEFINICIONES Máximo absoluto, mínimo absoluto
Sea f una función con dominio D. Decimos que f tiene un valor máximo absoluto
en D en un punto c si
ƒsxd … ƒscd para toda x en D
y un valor mínimo absoluto en D en un punto c si
ƒsxd Ú ƒscd para toda x en D.
Los valores máximo y mínimo absoluto se llaman extremos absolutos. Los extremos absolutos
también suelen denominarse extremos globales, para distinguirlos de los extremos
locales, que se definen a continuación.
Por ejemplo, en el intervalo cerrado [-p>2, p>2] la función ƒsxd = cos x alcanza un
valor máximo absoluto igual a 1 (una vez) y un valor mínimo absoluto igual a 0 (dos veces).
En el mismo intervalo, la función gsxd = sen x alcanza un valor máximo igual a 1 y
un valor mínimo igual a -1 (figura 4.1).
Funciones con la misma regla de correspondencia pueden tener extremos distintos,
dependiendo del dominio.