Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

2.5 Límites infinitos y asíntotas verticales 121
lor total de f es insignificante. Se comporta como 1/(2x – 4) cuando x está tan cerca de 2
que 1/(2x – 4) hace la contribución dominante.
Decimos que (x/2) + 1 domina cuando x es numéricamente grande, y también que
1/(2x – 4) domina cuando x está cerca de 2. Los términos dominantes como éstos son la
clave para predecir el comportamiento de las funciones. Aquí hay otro ejemplo.
EJEMPLO 9 Dos gráficas que parecen idénticas a gran escala
Sean f(x) = 3x 4 – 2x 3 + 3x 2 – 5x + 6 y g(x) = 3x 4 . Probar que, aunque f y g son bastante diferentes
para valores numéricos pequeños de x, son prácticamente idénticas para |x| muy
grande.
Solución Las gráficas de f y g se comportan de manera bastante diferente cerca del origen
(figura 2.48a), pero parecen prácticamente idénticas en gran escala (figura 2.48b).
20
15
10
5
y
f(x)
g(x)
2 1 0 1 2
5
(a)
x
500,000
300,000
100,000
y
20 10 0 10 20
100,000
FIGURA 2.48 Las gráficas de f y g (a) son distintas para ƒ x ƒ pequeña, y (b) casi
idénticas para ƒ x ƒ grande (ejemplo 9).
Podemos probar que el término 3x 4 en f, representado gráficamente por g, domina a la
polinomial f para valores numéricos grandes de x, examinando la razón de las dos funciones
cuando x : ; q .
Encontramos que
lím
x: ;q ƒsxd
gsxd
2
= lím a1 -
x: ;q 3x
= 1,
de manera que f y g son casi idénticas para |x| grande.
(b)
= lím
x: ;q 3x4 - 2x 3 + 3x 2 - 5x + 6
3x 4
1 5 2
+ - + 2 3 x 3x x
4 b
x