Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

328 Capítulo 5: Integración
TABLA 5.1 Aproximaciones finitas del área de R
Número de Regla del
subintervalos Suma inferior punto medio Suma superior
2 .375 .6875 .875
4 .53125 .671875 .78125
16 .634765625 .6669921875 .697265625
50 .6566 .6667 .6766
100 .66165 .666675 .67165
1000 .6661665 .66666675 .6671665
La tabla 5.1 muestra los valores de las aproximaciones de las sumas superior e inferior
del área de R usando hasta 1000 rectángulos. En la sección 5.2 veremos cómo obtener un valor
exacto de las áreas de las regiones tales como R, tomando un límite cuando el ancho de la
base de cada rectángulo tiende a cero y el número de rectángulos tiene a infinito. Con las
técnicas aquí desarrolladas, podremos probar que el área de R es exactamente 2>3.
Distancia recorrida
Supongamos que conocemos la función velocidad y(t) de un automóvil que se mueve por
una carretera sin cambiar de dirección, y que queremos saber cuánto recorrió entre los
tiempos t = a y t = b. Si ya conocemos una antiderivada F(t) de y(t), podemos encontrar
la función posición s(t) del automóvil haciendo sstd = Fstd + C. Entonces, la distancia
recorrida puede encontrarse calculando el cambio de posición ssbd - ssad (vea el ejercicio
93 de la sección 4.8). Si la función velocidad se determina registrando la lectura del
velocímetro del automóvil en varios tiempos, no tenemos una fórmula a partir de la cual
obtener una función antiderivada de la velocidad. ¿Qué hacer en esta situación?
Cuando no conocemos una función antiderivada para la función velocidad y(t), podemos
aproximar la distancia recorrida de la siguiente manera. Subdividimos el intervalo
[a, b] en intervalos de tiempo pequeños, en cada uno de los cuales la velocidad se considera
constante. Después aproximamos la distancia recorrida en cada subintervalo de tiempo
con la fórmula usual de distancia
y sumamos los resultados a lo largo de [a, b].
Supongamos que el intervalo subdividido se ve así,
con todos los subintervalos de la misma longitud ¢t. Elegimos un número t1 en el primer
intervalo. Si ¢t es tan pequeño que la velocidad apenas cambia en un intervalo de tiempo
de corta duración ¢t, entonces la distancia recorrida en el primer intervalo de tiempo es
aproximadamente yst1d ¢t. Si t2 es un número en el segundo intervalo, la distancia recorrida
en el segundo intervalo de tiempo es aproximadamente yst2d ¢t. La suma de las distancias
recorridas en todos los intervalos de tiempo es
donde n es el número total de subintervalos.
a
distancia = velocidad * tiempo
t t t
t 1 t 2 t 3
t (seg)
D L yst1d ¢t + yst2d ¢t + Á + ystnd ¢t,
b