Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

322 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
Capítulo 4 Ejercicios adicionales y avanzados
1. ¿Qué puede decir acerca de una función cuyos valores máximo y
mínimo en un intervalo son iguales? Justifique su respuesta.
2. ¿Es cierto que una función discontinua no puede tener tanto un
valor máximo absoluto como un mínimo absoluto en un intervalo
cerrado? Justifique su respuesta.
3. ¿Es posible concluir algo acerca de los valores extremos de una
función continua en un intervalo abierto? ¿En un intervalo semiabierto?
Justifique su respuesta.
4. Extremos locales Use el patrón de signos de la derivada
para identificar los puntos dónde f tiene valores máximos y mínimos
locales.
5. Extremos locales
a. Suponga que la primera derivada de y = ƒsxd es
¿En qué puntos, si hay alguno, la gráfica de f tiene un máximo
local, un mínimo local o un punto de inflexión?
b. Suponga que la primera derivada de y = ƒsxd es
¿En qué puntos, si hay alguno, la gráfica de f tiene un
máximo local, un mínimo local o un punto de inflexión?
6. Si ƒ¿sxd … 2 para toda x, ¿cuánto es lo más que pueden crecer los
valores de f en [0, 6]? Justifique su respuesta.
7. Acotamiento de una función Suponga que f es continua en
[a, b] y que c es un punto interior del intervalo. Demuestre que si
ƒ¿sxd … 0 en [a, c) y ƒ¿sxd Ú 0 en (c, b], entonces f (x) nunca es
menor que f (c) en [a, b].
8. Una desigualdad
df
dx = 6sx - 1dsx - 2d2 sx - 3d 3 sx - 4d 4
y¿ =6sx + 1dsx - 2d 2 .
y¿ =6xsx + 1dsx - 2d.
a. Demuestre que para todo valor
de x.
b. Suponga que f es una función cuya derivada es
x>s1 + x Use el resultado del inciso (a) para probar que
2 -1>2 … x>s1 + x
ƒ¿sxd =
d.
2d … 1>2
ƒƒsbd - ƒsadƒ … 1
ƒb - aƒ
2
para cualesquiera a y b.
9. La derivada de ƒsxd = x es cero en x = 0, pero f no es una función
constante. ¿Contradice esto el corolario del teorema del valor
medio que dice que las funciones con derivada cero son constantes?
Justifique su respuesta.
10. Puntos extremos y de inflexión Sea h = ƒg el producto de
dos funciones diferenciables de x.
2
a. Si f y g son positivas, con máximos locales en x = a,
y si ƒ¿
y g¿ cambian de signo en a, ¿h tiene un máximo local en a?
b. Si las gráficas de f y g tienen puntos de inflexión en x = a,
¿la gráfica de h tiene un punto de inflexión en a?
Si cualquiera de sus respuestas es afirmativa, demuéstrelo. Si la
respuesta es negativa, dé un contraejemplo.
11. Determinación de una función Use la información siguiente
para encontrar los valores de a, b y c en la fórmula
sbx
i) Los valores de a, b y c son 0 o 1.
ii) La gráfica de f pasa por el punto s -1, 0d.
iii) La recta y = 1 es una asíntota de la gráfica de f.
2 ƒsxd =
sx + ad> + cx + 2d.
12. Tangente horizontal ¿Para qué valor o valores de la constante
k la curva y = x
gente horizontal?
tiene exactamente una tan-
3 + kx 2 + 3x - 4
13. El mayor triángulo inscrito Los puntos A y B están en los extremos
de un diámetro del círculo unitario, y el punto C está en la
circunferencia. ¿Es cierto que el área del triángulo ABC es la mayor
cuando el triángulo es isósceles? ¿Cómo lo sabe?
14. Demostración de la prueba de la segunda derivada La prueba
de la segunda derivada para máximos y mínimos locales (sección
4.4) dice:
a. f tiene un valor máximo local en x = c si ƒ¿scd = 0 y
ƒ–scd 6 0
b. f tiene un valor mínimo local en x = c si ƒ¿scd = 0 y
ƒ–scd 7 0.
Para probar el enunciado (a), haga P=s1>2d ƒ ƒ–scd ƒ . Después
use el hecho de que
ƒ¿sc + hd - ƒ¿scd ƒ¿sc + hd
ƒ–scd = lím
= lím
h:0 h
h:0 h
para concluir que para algún d 7 0,
0 6 ƒ h ƒ 6 d Q
ƒ¿sc + hd
h
6 ƒ–scd +P60.
Por lo tanto, ƒ¿sc + hd es positiva para -d 6 h 6 0 y negativa
para 0 6 h 6 d. Pruebe el enunciado (b) de manera similar.
15. Agujero en un tanque de agua Se quiere taladrar un agujero
en el lado del tanque que se muestra aquí, a una altura que haga
que el flujo de agua que sale pegue en el suelo lo más lejos posible
del tanque. Si se taladra el agujero cerca de la parte superior,
donde la presión es baja, el agua saldrá lentamente pero estará un
tiempo relativamente largo en el aire. Si se taladra el agujero cerca
de la base, el agua saldrá con mayor velocidad pero tendrá poco
tiempo para caer. ¿Cuál es el mejor lugar, si lo hay, para hacer
el agujero? (Sugerencia: ¿Cuánto tiempo tardará una partícula de
agua que sale en caer de la altura y hasta el suelo?)