Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

1
a
y
0 b s
81. Volumen Una región del primer cuadrante está acotada por
arriba por la curva y = cosh x, por debajo por la curva y = senh x y
por la izquierda y la derecha por el eje y y la recta x = 2, respectivamente.
Determine el volumen del sólido que se genera al hacer
girar esa región alrededor del eje x.
82. Volumen La región acotada por la curva y = sech x, el eje x y
las rectas x = ; ln 23 se hace girar alrededor del eje x para generar
un sólido. ¿Cuál es el volumen del sólido?
83. Longitud de arco Determine la longitud del segmento de la
curva y = (1/2) cosh 2x de x = 0 a x = ln 25.
84. Lo hiperbólico en las funciones hiperbólicas Si no sabe por
qué las funciones que hemos estudiado se llaman hiperbólicas,
ésta es la respuesta: así como x = cos u y y = sen u han sido identificados
con los puntos (x, y) en el círculo unitario, las funciones
x = cosh u y y = senh u se identifican con los puntos (x, y) en la
rama derecha de la hipérbola unitaria x 2 – y 2 = 1.
Otra analogía entre funciones hiperbólicas y funciones circulares
es que la variable u en las coordenadas (cosh u, senh u) para
los puntos de la rama derecha de la hipérbola x 2 – y 2 = 1 es el doble
del área del sector AOP de la figura siguiente. Para averiguar
por qué, siga estos pasos.
a. Demuestre que el área A(u) del sector AOP es
Asud = 1
2 cosh u senh u - L1
s
y
1
u 0
0
–1
1
y
1
a cosh ax
u→−∞
u→∞
P(cosh u, senh u)
cosh u
x
x 2 y 2 1
Como el punto
(cosh u, senh u) se encuentra en la rama
derecha de la hipérbola x 2 – y 2 cosh
= 1 para
todo valor de u (ejercicio 84).
2 u - senh2 u = 1,
x
2x 2 - 1 dx.
7.8 Funciones hiperbólicas 545
b. Derive ambos lados de la ecuación del inciso (a) con respecto
a u, para demostrar que
A¿sud =
c. Despeje A(u) en esta última ecuación. ¿Cuál es el valor de
A(0)? ¿Cuál es el valor de la constante de integración C en su
solución? Una vez hallada C, ¿qué puede decir acerca de la
relación entre u y A(u)?
1
2 .
O
y
A
Asíntota
P(cosh u, senh u)
u es el doble del área
del sector AOP.
x
x
u 0
O A
u es el doble del área u 0
del sector AOP.
Asíntota
85. Superficie mínima Determine el área de la superficie barrida
por la curva y = 4 cosh sx>4d, -ln 16 … x … ln 81,
al hacerla
girar alrededor del eje x.
A(–ln 16, 5)
x 2 y 2 1
4
y
–ln 16 0 ln 81
x 2 y 2 1
y 4 cosh (x/4)
B(ln 81, 6.67)
b. Evalúe hasta dos decimales las coordenadas. Dibuje la curva
y trace el centroide para mostrar su relación con ella.
x
y
P(cos u, sen u)
Una de las analogías entre las funciones hiperbólicas y circulares
se muestra en estos dos diagramas (ejercicio 84).
Es posible demostrar que, de todas las curvas continuamente
diferenciables que unen los puntos A y B en la figura, y = 4
cosh sx>4d es la que genera la superficie de menor área. Si se sumerge
una armazón de alambre rígido con los círculos extremos
en A y B en una solución jabonosa, la película que unirá los círculos
al salir de la solución será la misma que la generada por la
curva.
T 86. a. Halle el centroide de la curva y = cosh x, -ln 2 … x … ln 2.