Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

gular no podemos determinar el valor exacto de y tenemos que reemplazarlo
con una cota superior. Si M es cualquier cota superior para los valores de ƒ ƒ en [a, b],
entonces
s4d máx ƒ ƒ
ƒ
s4dsxd ƒ
ƒ ES ƒ …
Sustituyendo sb - ad>n por ¢x en la expresión anterior, se tiene
ƒ ES ƒ …
b - a
180 Ms¢xd4 .
Msb - ad5
.
180n 4
8.7 Integración numérica 611
Ésta es la fórmula que utilizamos usualmente para estimar el error en la regla de Simpson.
Determinamos un valor razonable para M y estimamos a partir de él.
ƒ ES ƒ
Estimación del error para la regla de Simpson
Si es continua y M es cualquier cota superior para los valores de ƒ ƒ en [a,
b], entonces el error ES en la aproximación a la integral de f, desde a hasta b, por
medio de la regla de Simpson para n pasos, satisface la desigualdad
s4d ƒ ƒ
s4d
ƒ ES ƒ …
Msb - ad5
.
180n 4
Como con la regla del trapecio, con frecuencia no podemos determinar el valor más
pequeño posible de M. Sólo encontramos el mejor valor que podamos y partimos de allí.
EJEMPLO 6 Cota del error en la regla de Simpson
Determine una cota superior para el error al estimar 0 usando la regla de Simpson
con n = 4 (ejemplo 5).
5x4 dx
Solución Para estimar el error, primero encontramos una cota superior M para la magnitud
de la cuarta derivada de f (x) = 5x 4 en el intervalo Como la cuarta derivada
tiene el valor constante ƒ tomamos M = 120. Con b – a = 2 y n = 4, la
estimación del error para la regla de Simpson da
s4d 0 … x … 2.
sxd = 120,
ƒ ES ƒ …
Msb - ad5
180n 4
= 120s2d5
180 # 4 4
EJEMPLO 7 Comparación de las aproximaciones de la regla del trapecio
y la regla de Simpson
Como vimos en el capítulo 7, el valor de ln 2 puede calcularse a partir de la integral
La tabla 8.5 muestra los valores T y S para las aproximaciones de 1 utilizando
varios valores de n. Observe que la regla de Simpson mejora radicalmente los valores
de la regla del trapecio. En particular, observe que cuando duplicamos el valor de n (y
por lo tanto se divide entre dos el valor de h =¢x),
el error para T se divide entre 2 al
cuadrado, mientras que el error para S se divide entre 2 a la cuarta).
2
ln 2 =
L1
1 s1>xd dx
1 x dx.
2
1 2
= 1
12 .