Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

222 Capítulo 3: Derivadas
y
(a, f(a))
0 a
y f(x)
Pendiente f '(
FIGURA 3.47 La tangente a la curva
y = f(x) en x = a es la recta
Lsxd = ƒsad + ƒ¿sadsx - ad.
x
Introduciremos nuevas variables dx y dy, llamadas diferenciales y las definiremos de
manera que la notación de Leibniz para la derivada dy>dx sea una razón válida. Usaremos
dy para estimar el error en mediciones y sensibilidades al cambio de una función. Una
aplicación de estas ideas nos dará una demostración precisa de la regla de la cadena (sección
3.5).
Linealización
Como podemos ver en la figura 3.46, cuando nos acercamos al punto de tangencia, la tangente
a la curva y = x 2 está muy cerca de ella. Para un pequeño intervalo alrededor del punto,
los valores y a lo largo de la recta tangente son una buena aproximación de los valores
y de la curva. Para observar este fenómeno, haga un acercamiento en el punto de tangencia
de ambas gráficas o busque en tablas los valores de la diferencia entre f(x) y su recta tangente
cerca de la coordenada x del punto de tangencia. Localmente, toda curva diferenciable
se comporta como una recta.
–1
4
0
3
y x 2 y su tangente y 2x 1 en (1, 1). Tangente y curva muy pegadas cerca de (1, 1).
1.2
0.8
0.8
y x 2
y 2x 1
(1, 1)
y x 2
(1, 1)
y 2x 1
Tangente y curva muy pegadas dentro
de todo el intervalo x que se muestra.
1.2
0
2
0
1.003
0.997
0.997
y x2 y 2x 1
(1, 1)
y x 2
y 2x 1
(1, 1)
2
1.003
Tangente y curva todavía más pegadas. La pantalla
de la computadora no puede distinguir la tangente de
la curva en este intervalo x.
FIGURA 3.46 Cuanto más amplificamos la gráfica de una función cerca de un punto
donde la función es diferenciable, la gráfica se vuelve más suave y se parece más a su
tangente.
En general, la tangente a y = f(x) en x = a donde f es diferenciable (figura 3.47) pasa
por el punto (a, ƒ(a)), de manera que su ecuación punto-pendiente es
y = ƒsad + ƒ¿sadsx - ad.
Así, su recta tangente es la gráfica de la función lineal
Lsxd = ƒsad + ƒ¿sadsx - ad.
Mientras esta recta permanezca cerca de la gráfica de f, L(x) da una buena aproximación
de f(x).