Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

4.8 Antiderivadas 313
Usando esta notación, reescribimos las soluciones del ejemplo 1 como sigue:
Esta notación se relaciona con la aplicación principal de las antiderivadas, que será analizada
en el capítulo 5. Las antiderivadas juegan un papel clave en el cálculo de límites de
sumas infinitas, un papel inesperado y sumamente útil que se describe en un resultado
central del capítulo 5, llamado el teorema fundamental del cálculo.
EJEMPLO 7 Integración indefinida hecha término a término, y reescritura
de la constante de integración
Evaluar
L 2x dx = x2 + C,
cos x dx = sen x + C,
L
L s2x + cos xd dx = x2 + sen x + C.
L sx2 - 2x + 5d dx.
Solución Si reconocemos que es una antiderivada de x
podemos evaluar la integral como
2 sx - 2x + 5,
3 >3d - x2 + 5x
antiderivadas
$++%++&
L (x2 - 2x + 5) dx = x3
3 - x2 + 5x + ()* C.
constante arbitraria
Si no reconocemos la antiderivada enseguida, podemos generarla término a término
con las reglas de la suma, de la diferencia y del múltiplo constante:
L sx2 - 2x + 5d dx = L x 2 dx - L 2x dx + L 5 dx
= L x 2 dx - 2 L x dx + 5 L 1 dx
= a x3
3 + C1b - 2 a x2
2 + C2b + 5sx + C3d
= x3
3 + C1 - x 2 - 2C2 + 5x + 5C3.
Esta fórmula es más complicada de lo que debería. Si combinamos C1, -2C2, y 5C3 en
una sola constante arbitraria C = C1 - 2C2 + 5C3, la fórmula se simplifica a
x 3
3 - x2 + 5x + C