Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

0
y
y ⏐x⏐
y' –1 y' 1
y' no está definida en x 0:
derivada lateral derecha
derivada lateral izquierda
FIGURA 3.6 La función y = ƒ x ƒ no es
diferenciable en el origen, donde la
gráfica tiene un “pico”.
x
(figura 3.6). No puede haber derivada en el origen, ya que las derivadas laterales difieren
en ese punto:
Derivada por la izquierda de ƒ x ƒ en cero = lím
h:0 - ƒ 0 + h ƒ - ƒ 0 ƒ
h
EJEMPLO 6 y = 1x no es diferenciable en x = 0
En el ejemplo 2 vimos que para x > 0, x 7 0,
Aplicamos la definición para averiguar si la derivada existe en x = 0:
Como el límite lateral derecho no es finito, no hay derivada en x = 0 y como las pendientes
de las rectas secantes que unen el origen con los puntos Ah, 1hB en la gráfica de y = 1x
se aproximan a q, la gráfica tiene una tangente vertical en el origen.
¿En qué situación una función no tiene derivada en un punto?
Una función tiene derivada en un punto x0 si las pendientes de las rectas secantes que pasan
por P(x0, f(x0)) y un punto cercano Q en la gráfica se aproximan al límite conforme Q
se acerca a P. Si las secantes no tienden a una posición límite o se vuelven verticales conforme
Q se aproxima a P, la derivada no existe. En consecuencia, la diferenciabilidad se
caracteriza por la “suavidad” de la gráfica de f. Una función cuya gráfica no cumpla con
esta característica no tendrá derivada en un punto; esto puede deberse a varias razones:
1. que la gráfica describa en el punto P 2. que la gráfica describa en el punto P
una esquina, provocando que las una cúspide, ocasionando que la
derivadas laterales difieran entre sí. pendiente de PQ tienda a q por un lado
y a –q por el otro.
Q Q
P
d
1x =
dx
20 + h - 20
lím+
h:0 h
3.1 La derivada como una función 153
Derivada por la derecha de ƒ x ƒ en cero = lím
h:0 + ƒ 0 + h ƒ - ƒ 0 ƒ
h
h
= lím+
h:0 h
= lím
h:0 +1 = 1
-h
= lím-
h:0 h
= lím - 1 = -1.
- h:0
1
21x .
1
= lím+
h:0 1h = q .
Q
= lím
h:0 + ƒ h ƒ
h
ƒ h ƒ = h cuando h 7 0.
= lím
h:0 - ƒ h ƒ
h
ƒ h ƒ = -h cuando h 6 0.
P
Q