Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Diferenciación logarítmica
En los ejercicios 55 a 68, utilice la diferenciación logarítmica para determinar
la derivada de y respecto de la variable independiente dada.
55. 56. y = 2sx2 + 1dsx - 1d2 y = 2xsx + 1d
t
1
57. y = 58. y =
A t + 1
A tst + 1d
59. y = 2u + 3 sen u 60. y = stan ud22u + 1
61. y = tst + 1dst + 2d 62. y =
u + 5
u sen u
63. y = 64. y =
u cos u
2sec u
65. y = 66.
x2x2 + 1
sx + 1d 2>3
3 xsx - 2d
67. y = 68.
B x 2 + 1
Teoría y aplicaciones
1
tst + 1dst + 2d
sx + 1d
y =
C
10
s2x + 1d5 3 xsx + 1dsx - 2d
y =
Bsx
2 + 1ds2x + 3d
69. Localice e identifique los valores extremos absolutos de
a. ln (cos x) en
b. cos (ln x) en [1 2, 2].
70. a. Demuestre que es creciente para
b. Utilice el inciso (a) para demostrar que si
71. Determine el área entre las curvas y = ln x y y = ln 2x, de x = 1 a
x = 5.
72. Determine el área entre la curva y = tan x y el eje x, de
a
73. La región en el primer cuadrante, acotada por los ejes coordenados,
la recta y = 3 y la curva se hace girar alrededor
del eje y para generar un sólido. Determine el volumen del
sólido.
74. La región entre la curva y el eje x, de a
, se hace girar alrededor del eje x para generar un sólido.
Determine el volumen del sólido.
75. La región entre la curva y el eje x, de a x = 2,
se hace girar alrededor del eje y para generar un sólido. Determine
el volumen del sólido.
76. En el ejercicio 6 de la sección 6.2, hicimos girar alrededor del
eje y la región entre la curva y el eje x, de x =
0 a x = 3, para generar un sólido de volumen ¿Qué volumen
obtendría si hiciéramos girar la región alrededor del eje x? (Consulte
la gráfica en el ejercicio 6 de la sección 6.2).
77. Determine las longitudes de las curvas siguientes.
a.
b. x = sy>4d
78. Determine una curva que pase por el punto (1, 0), y cuya longitud
entre x = 1 y x = 2 sea
2 y = sx
- 2 ln sy>4d, 4 … y … 12
2 y = 9xN 2x
36p.
>8d - ln x, 4 … x … 8
3 y = 1>x x = 1>2
+ 9
2
[-p>4, p>3],
>
ƒsxd = x - ln x
x 7 1.
ln x 6 x x 7 1.
x = -p>4
x = p>3.
x = 2N 2y + 1
y = 2cot x
x = p>6
x = p>2
7.2 Logaritmos naturales 485
b. Haga un bosquejo de la región y señale en él el centroide.
80. a. Determine el centro de masa de una placa delgada de densidad
constante que cubre la región entre la curva y = 1> 1x y
el eje x, de x = 1 a x = 16.
b. Determine el centro de masa si, en lugar de ser constante, la
densidad de la placa fuera dsxd = 4> 1x.
En los ejercicios 81 y 82, resuelva los problemas con valor inicial.
81.
82.
L = L
dy
dx = 1 + 1 x , ys1d = 3
d2 y
dx2 = sec2 x, ys0d = 0 y y¿s0d = 1
83. Linealización de ln (1 + x) en x = 0 En lugar de aproximar ln x
alrededor de x = 1, aproximamos ln (1 + x) alrededor de x = 0. De
esta manera obtenemos una fórmula más sencilla.
a. Deduzca la linealización de ln s1 + xd L x en x = 0.
b. Estime, a cinco decimales, el error en que se incurre al reemplazar
ln (1 + x) por x en el intervalo [0, 0.1].
c. Trace juntas la gráfica de ln s1 + xd y x para 0 … x … 0.5. Si
es posible, utilice un color diferente para cada gráfica. ¿En
qué puntos es mejor la aproximación de ln s1 + xd?
¿En cuá-
les es menos buena? Por medio de la lectura directa de las
coordenadas en las gráficas determine, con tanta precisión
como le permita su calculadora graficadora, una cota superior
para el error.
84. Utilice el argumento de tener la misma derivada, como se hizo para
demostrar las reglas 1 y 4 del teorema 2, para probar la Regla
del Cociente de los logaritmos.
Exploraciones gráficas
2
1 A
1
1 + dx. 2
x
T 79. a. Determine el centroide de la región entre la curva y = 1>x y
el eje x, de x = 1 a x = 2. Proporcione las coordenadas redondeando
a dos decimales.
T
85. Grafique juntas ln x, ln 2x, ln 4x, ln 8x y ln 16x (o tantas de ellas
como pueda) para 0 6 x … 10. ¿Qué sucede? Explique.
86. Grafique y = ln ƒ sen x ƒ en la ventana 0 … x … 22, -2 … y … 0.
Explique lo que ve. ¿Cómo podría cambiar la fórmula para que
los arcos queden invertidos?
87. a. Grafique juntas y = sen x y las curvas y = ln sa + sen xd para
a = 2, 4, 8, 20 y 50 para 0 … x … 23.
b. ¿Por qué las curvas se aplanan cuando a aumenta? (Sugerencia:
Determine una cota superior para ƒ y¿ ƒ que dependa
de a).
88. ¿Tiene la gráfica de y = 1x - ln x, x 7 0, un punto de inflexión?
Trate de responder la pregunta (a) por medio de graficación,
y (b) por medio de cálculo.