Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

0.5 pulg.
6 pulg.
30 pulg.
46. Estimación de la altura de un edificio Un topógrafo, parado a
30 pies de la base de un edificio, mide un ángulo de elevación de
75° desde la parte superior del edificio. ¿Con qué exactitud debe
medirse el ángulo para que el porcentaje de error al estimar la altura
del edificio sea menor a 4 por ciento?
47. Tolerancia La altura y el radio de un cilindro circular recto son
iguales, de manera que el volumen del cilindro es V = ph El 3 .
volumen debe calcularse con un error de no más de 1% del valor
real. Encuentre aproximadamente el mayor error que se puede tolerar
en la medición de h, expresado como un porcentaje de h.
48. Tolerancia
a. ¿Con qué exactitud debe medirse el diámetro interior de un
tanque cilíndrico de almacenamiento de 10 m de altura para
calcular el volumen del tanque dentro de 1% del valor real?
b. ¿Con qué exactitud debe medirse el diámetro exterior, para
calcular la cantidad de pintura que se necesita para pintar la
pared del tanque, dentro de 5% de la cantidad real?
49. Acuñación de monedas El gobierno federal contrata los servicios
de cierta fábrica para acuñar monedas. ¿Cuánta variación dr
en el radio de las monedas puede tolerarse si el peso de las mismas
debe diferir menos que de su peso ideal? Suponga que el
espesor no varía.
50. Esbozo del cambio en el volumen de un cubo El volumen
de un cubo con aristas de longitud x crece una cantidad
cuando x crece una cantidad Demuestre con un croquis
cómo representar geométricamente como la suma de los volúmenes
de:
a. Tres franjas de dimensiones x por x por .
b. Tres barras de dimensiones x por por .
c. Un cubo de dimensiones por por
La fórmula diferencial dV = 3x estima el cambio en V con
las tres franjas.
51. El efecto que tienen maniobras de vuelo en el corazón La cantidad
de trabajo realizada por la principal cámara de bombeo del
corazón, el ventrículo izquierdo, está dado por la ecuación
2 V = x
¢V
¢x.
¢V
¢x
¢x ¢x
¢x ¢x ¢x.
dx
3
1>1000
W = PV + Vdy2
2g ,
donde W es el trabajo por unidad de tiempo, P es la presión promedio
de la sangre, V es el volumen de sangre bombeado hacia
fuera por unidad de tiempo, d es el peso de la densidad de la sangre,
v es la velocidad promedio de la sangre saliente y g es la aceleración
de la gravedad.
Cuando P, V, d y v permanecen constantes, W se convierte
en una función de g y la ecuación toma la forma simplificada
Como miembro del equipo médico de la NASA, usted quiere saber
qué tan sensible es W a los cambios en g causados por las maniobras
de vuelo, y esto depende del valor inicial de g. Como parte
de su investigación, decide comparar los efectos que tiene en W
un cambio en dg, dado en la Luna, donde g = 5.2 piesNseg 2 , con el
efecto que el mismo cambio dg tendría en la Tierra, donde g = 32
piesNseg 2 . Use la ecuación simplificada que se mencionó antes
para encontrar la razón de dW Luna a dW Tierra.
52. Medición de la aceleración de la gravedad Cuando la longitud
L del péndulo de un reloj se mantiene constante controlando
su temperatura, el periodo T del péndulo depende de la aceleración
de la gravedad g. Así, el periodo variará ligeramente al cambiar el
reloj de un lugar a otro en la superficie de la Tierra, dependiendo
del cambio en g. Sin perder de vista a podemos estimar la variación
en g a partir de la ecuación T = 2psL>gd que relaciona
T, g y L.
1>2
¢T,
a. Con L constante y g como la variable independiente, calcule
dT y úsela para contestar los incisos (b) y (c).
b. ¿T crece o decrece cuando g se incrementa? ¿El péndulo de
un reloj puede aumentar o disminuir rapidez su velocidad?
Explique.
c. Un reloj con un péndulo de 100 cm es trasladado de una localidad
donde g = 980 cmNseg 2 a una nueva ubicación. Esto aumenta
el periodo en dT = 0.001 seg. Encuentre dg y estime el
valor de g en la nueva ubicación.
53. La arista de un cubo mide 10 cm, con un error de 1 por ciento. Se
tiene que calcular el volumen del cubo a partir de esta medida.
Estime el porcentaje de error en el cálculo del volumen.
54. ¿Con qué exactitud debe medirse el lado de un cuadrado para estar
seguros de calcular el área dentro del 2% de su valor real?
55. El diámetro de una esfera se mide como 100 ; 1 cm,
y el volumen
se calcula a partir de esta medición. Estime el porcentaje de
error en el cálculo del volumen.
56. Estime el porcentaje de error aceptable en la medida del diámetro
D de una esfera, si el volumen se calcula correctamente dentro de
3 por ciento.
57. (Continuación de ejemplo 7). Demuestre que un error de 5% en la
medición de t provoca un error de aproximadamente 10% en el
cálculo de s a partir de la ecuación s = 16t 2 .
58. (Continuación de ejemplo 8). ¿En qué porcentaje hay que aumentar
r para incrementar V en 50 por ciento?
Teoría y ejemplos
3.8 Linealización y diferenciales 233
W = a + b g
sa, b constantesd.
59. Demuestre que la aproximación de 21 + x por su linealización
en el origen debe mejorar cuando x : 0 probando que
21 + x
lím
= 1.
x:0 1 + sx>2d