Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

De acuerdo con el teorema del valor medio para integrales definidas, el valor de la última
expresión en la ecuación (4) es uno de los valores que toma f en el intervalo entre x y
x + h. Esto es, para algún número c en este intervalo,
Cuando h : 0, x + h se aproxima a x, forzando a c a hacerlo también (porque c está atrapada
entre x y x + h).
Como f es continua en x, f (c) se aproxima a f (x):
lím ƒscd = ƒsxd.
h:0
Entonces, regresando al principio tenemos
dF
dx
1
hLx Fsx + hd - Fsxd
= lím
h:0 h
= lím
h:0
= lím ƒscd
h:0
= ƒsxd.
1
hLx Definición de derivada
Ecuación (4)
Ecuación (5)
Ecuación (6)
Si entonces el límite de la ecuación (3) se interpreta como un límite unilateral
con o h : 0 , respectivamente. Así pues, el teorema 1 de la sección 3.1 prueba
que F es continua para todo punto de [a, b]. Esto concluye la prueba.
-
h : 0 +
x = a o b,
Teorema fundamental parte 2 (El teorema de la evaluación)
x + h
5.4 El teorema fundamental del cálculo 361
ƒstd dt = ƒscd.
Veamos ahora la segunda parte del teorema fundamental del cálculo. En ella se describe
cómo evaluar integrales definidas sin usar el cálculo de límites de sumas de Riemann. En
lugar de ello, encontramos una antiderivada y la evaluamos en los límites de integración
superior e inferior.
x + h
ƒstd dt
TEOREMA 4 (Continuación) El teorema fundamental del cálculo, parte 2
Si f es continua en todos los puntos de [a, b] y F es cualquier antiderivada de f en
[a, b], entonces
b
ƒsxd dx = Fsbd - Fsad.
La
Demostración La parte 1 del teorema fundamental nos dice que existe una antiderivada
de f, a saber
Gsxd = ƒstd dt.
La
En consecuencia, si F es cualquier antiderivada de f, entonces para alguna
constante C en (de acuerdo con el corolario 2 del teorema del valor medio
para derivadas, sección 4.2). Toda vez que tanto F como G son continuas en [a, b], vemos
que también se satisface cuando y tomando límites
laterales (cuando y x : b - x : a d.
+
Fsxd = Gsxd + C
a 6 x 6 b
F(x) = G(x) + C
x = a x = b
x
(5)
(6)