Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

EJERCICIOS 4.5
Siempre que se quiera maximizar o minimizar una función de una sola
variable, es importante dibujar la gráfica sobre el dominio que sea
apropiado para el problema a resolver. La gráfica le proporcionará valiosa
información antes de hacer los cálculos, y le ofrecerá una herramienta
visual para entender su respuesta.
Aplicaciones en geometría
1. Minimización de un perímetro ¿Cuál es el menor perímetro
posible para un rectángulo cuya área es 16 pulg. y cuáles son
sus dimensiones?
2. Demuestre que entre todos los rectángulos con perímetro de 8 m,
el de mayor área es un cuadrado.
3. La figura muestra un rectángulo inscrito en un triángulo rectángulo
isósceles, cuya hipotenusa mide 2 unidades de largo.
a. Exprese la coordenada y de P en términos de x.
(Sugerencia: Escriba una ecuación para la recta AB).
b. Exprese el área del rectángulo en términos de x.
c. ¿Cuál es la mayor área posible del rectángulo y cuáles son sus
dimensiones?
2 ,
–1
4. Un rectángulo tiene su base en el eje x y sus dos vértices superiores
sobre la parábola y = 12 - x ¿Cuál es la mayor área posible
del rectángulo, y cuáles son sus dimensiones?
5. Usted quiere hacer una caja rectangular abierta con una cartulina
de 8 por 15 pulgadas, cortando en las esquinas cuadrados congruentes
y doblando hacia arriba los lados. ¿Cuáles son las di-
2 .
y
B
4.5 Problemas de optimización aplicados 285
Solución El costo promedio diario se incrementará alrededor de $0.03 si redondeamos
hacia abajo, de 14.14 a 14 días:
y
cs14d = 5000
14
+ 25s14d = $707.14
cs14d - cs14.14d = $707.14 - $707.11 = $0.03.
Por otro lado, cs15d = $708.33, y nuestro costo se incrementaría $708.33 - $707.11
$1.22 si redondeáramos hacia arriba. En consecuencia, es mejor que redondeemos x hacia
abajo, a 14 días.
P(x, ?)
A
0 x 1
x
mensiones de la caja que puede hacer de esta manera con el mayor
volumen, y cuál es ese volumen?
6. Está planeando cerrar la esquina del primer cuadrante con un
segmento de recta de 20 unidades de longitud que va de (a, 0) a
(0, b). Demuestre que el área del triángulo encerrado por el segmento
es máxima cuando
7. La mejor cerca Una parcela rectangular en una granja tendrá
límites, por un lado, por un río, y por los otros tres mediante una
cerca electrificada con un solo alambre. Si se cuenta sólo con 800
m de alambre, ¿cuál es la mayor área que puede ocupar la parcela
y cuáles son sus dimensiones?
8. La cerca más corta Un sembradío rectangular de chícharos mide
; se quiere encerrar con una cerca, y dividirlo en dos
partes iguales mediante otra cerca paralela a uno de los lados.
¿Qué dimensiones del rectángulo exterior requieren la menor longitud
total de la cerca? ¿Cuánta cerca se requerirá?
9. Diseño de un tanque La fundidora en donde usted trabaja ha
sido contratada para diseñar y construir un tanque rectangular de
acero, de base cuadrada, abierto por arriba y con una capacidad
de . El tanque se tiene que hacer soldando placas delgadas
de acero a lo largo de sus bordes. Como ingeniero de producción,
su trabajo consiste en determinar las dimensiones de la base
y la altura que harán que el tanque pese lo menos posible.
a. ¿Qué dimensiones le dirá al taller que use?
b. Describa brevemente cómo tomó en cuenta el peso en su
cálculo.
10. Recolección de agua de lluvia Se quiere construir un tanque
rectangular abierto por arriba de 1125 pies con base cuadrada de
x pies de lado y y pies de profundidad, con su parte superior al nivel
del piso, para recoger agua de lluvia. El costo asociado con el
tanque involucra no sólo el material que se usará para construirlo,
sino también el costo de excavación proporcional al producto xy.
a.
3
500 pies 3
216 m 2
a = b.
c = 5sx 2 + 4xyd + 10xy,
¿qué valores de x y y lo minimizarán?
b. Dé un escenario posible para la función de costo del inciso (a).