Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

678 Capítulo 9: Aplicaciones adicionales de integración
M 100
50
0
P
FIGURA 9.27 La gráfica de
P =
100
1 + 9e -0.1t
superpuesta sobre el campo de pendientes
en la figura 9.25 (ejemplo 2).
t
(c) Solución analítica. Podemos suponer que t = 0 cuando la población de osos es 10, por
lo que P(0) = 10. El modelo de crecimiento logístico que buscamos es la solución del
problema de valor inicial siguiente.
Para preparar la integración, reescribimos la ecuación diferencial en la forma
Usando la descomposición en fracciones parciales en el lado izquierdo y multiplicando
ambos lados por 100, obtenemos
a 1
P +
Ecuación diferencial: dP
dt
Condición inicial:
1 dP
b
100 - P dt
P
ln p p = 0.1t + C
100 - P
ln p
p
100 - P
p = -0.1t - C
P
100 - P -0.1t - C p = e
P
100 - P
P
100
P
1
Ps100 - Pd dP
dt
ln ƒ P ƒ - ln ƒ 100 - P ƒ = 0.1t + C
- 1 = Ae -0.1t
P =
= 0.1
= s ;e -C de -0.1t
100
. -0.1t 1 + Ae
Integrar respecto de t.
Exponenciar.
Hacer A = ;e . -c
Despejar P.
Ésta es la solución general de la ecuación diferencial. Cuando t = 0, P = 10 y obtenemos
100
10 =
1 + Ae0 1 + A = 10
Así, el modelo de crecimiento logístico es
P =
Ps0d = 10
A = 9.
= 0.001.
100
. -0.1t 1 + 9e
= 0.001s100 - PdP
ln a
b = -ln b a
Su gráfica (figura 9.27) está sobrepuesta en el campo de pendientes de la figura 9.25.