Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

318 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
EXPLORACIONES CON COMPUTADORA
Use un software matemático para resolver los problemas de valor inicial
de los ejercicios 103 a 106. Trace las curvas solución.
103. y¿ =cos2 x + sen x, yspd = 1
104. y¿ = 1 x
+ x, ys1d = -1
Capítulo 4 Preguntas de repaso
1. ¿Qué se puede decir acerca de los valores extremos de una función
continua en un intervalo cerrado?
2. ¿Qué significa que una función tenga un valor extremo local en
su dominio? ¿Qué quiere decir que tenga un valor extremo absoluto?
¿Cómo se relacionan los valores extremos locales y absolutos
si es que existe tal relación? Dé ejemplos.
3. ¿Cómo se encuentran los extremos absolutos de una función continua
en un intervalo cerrado? Dé ejemplos.
4. ¿Cuáles son las hipótesis y las conclusiones del teorema de Rolle?
¿Las hipótesis son realmente necesarias? Explique.
5. ¿Cuáles son las hipótesis y las conclusiones del teorema del valor
medio? ¿Qué interpretaciones físicas puede tener dicho teorema?
6. Formule los tres corolarios del teorema del valor medio.
7. ¿Cómo es posible identificar (algunas veces) una función f(x) conociendo
ƒ¿ y el valor de f en un punto x = x0? Dé ejemplos.
8. ¿Cuál es la prueba de la primera derivada para valores extremos
locales? Dé ejemplos de su aplicación.
9. ¿Cómo se puede examinar una función dos veces diferenciable
para determinar el punto en donde su gráfica es cóncava hacia
arriba o hacia abajo? Dé ejemplos.
10. ¿Qué es un punto de inflexión? Dé un ejemplo. ¿Qué significado
físico pueden tener los puntos de inflexión?
11. ¿Cuál es la prueba de la segunda derivada para valores extremos
locales? Dé ejemplos de su aplicación.
12. ¿Qué nos dice la derivada de una función respecto de la forma de
su gráfica?
Capítulo 4 Ejercicios de práctica
Existencia de valores extremos
1. ¿ ƒsxd = x tiene algún valor máximo o mínimo
local? Justifique su respuesta.
3 + 2x + tan x
2. ¿ gsxd = csc x + 2 cot x tiene algún valor máximo local? Justifique
su respuesta.
1
105. y¿ = , ys0d = 2
2
24 - x
106. y– = 2 x
+ 2x, ys1d = 0, y¿s1d = 0
13. Haga una lista de los pasos que deben seguirse para graficar una
función polinomial. Ilustre con un ejemplo.
14. ¿Qué es una cúspide? Dé ejemplos.
15. Haga una lista de los pasos que deben seguirse para graficar una
función racional. Ilustre con un ejemplo.
16. Describa una estrategia general para resolver problemas de máximos
y mínimos. Dé ejemplos.
17. Describa la regla de L’Hôpital. ¿Cómo sabemos cuándo usar dicha
regla y cuándo detenernos? Dé un ejemplo.
18. ¿Cómo se pueden manipular los límites que nos conducen a las
formas indeterminadas q> q, q # 0, y q - q?
Dé ejemplos.
19. Describa el método de Newton para resolver ecuaciones. Dé un
ejemplo. ¿Cuál es la teoría que está detrás del método? ¿En qué
debe tenerse cuidado al usar este método?
20. ¿Una función puede tener más de una antiderivada? De ser así,
¿cómo se relacionan las antiderivadas? Explique.
21. ¿Qué es una integral indefinida? ¿Cómo se puede evaluar? ¿Qué
fórmulas generales conoce para encontrar las integrales indefinidas?
22. ¿Cómo se puede resolver una ecuación diferencial de la forma
dy>dx = ƒsxd?
23. ¿Qué es un problema de valor inicial? ¿Cómo se resuelve? Dé un
ejemplo.
24. Además de la aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de
una recta coordenada como una función del tiempo, ¿qué se necesita
saber para encontrar la función posición del cuerpo? Dé un
ejemplo.
3. ¿ ƒsxd = s7 + xds11 - 3xd tiene algún valor mínimo absoluto?
¿Tiene un máximo absoluto? De ser así, encuéntrelos o explique
por qué no existen. Haga una lista de todos los puntos críticos.
1>3