Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Límites de sumas finitas
Las aproximaciones de sumas finitas que consideramos en la sección 5.1 resultaban más
exactas conforme el número de términos crecía y el ancho (longitud) de los subintervalos
se hacía más angosto. El siguiente ejemplo muestra cómo calcular un valor límite cuando
el ancho de los subintervalos tiende a cero y el número de términos tiende a infinito.
EJEMPLO 5 El límite de las aproximaciones finitas de un área
Encontrar el valor límite de las aproximaciones mediante sumas inferiores al área de la región
R, que está debajo de la gráfica de y = 1 - x y sobre el intervalo [0, 1] en el eje x
usando rectángulos del mismo ancho, donde el ancho tiende a cero y el número de rectángulos
tiende a infinito. (Vea la figura 5.4a).
2
Solución Calculamos la aproximación mediante sumas inferiores, usando n rectángulos
del mismo ancho, ¢x = s1 - 0d>n, y después vemos qué pasa cuando n : q . Empezamos
por subdividir [0, 1] en n subintervalos del mismo ancho
Cada subintervalo tiene un ancho . La función decrece en [0, 1], y su valor mínimo
en un subintervalo se alcanza en el extremo derecho del subintervalo. De manera que
una suma inferior se construye con los rectángulos cuya altura en el subintervalo
es 1 - sk>nd dando la suma
2 1 - x
[sk - 1d>n, k>n] ƒsk>nd = ,
2
1>n
Escribimos dicha suma en notación sigma y simplificamos,
n
a
k = 1
ƒ a k n ba1 n b = n
a
k = 1
n
= a
k = 1
n
= a
k = 1
= n # 1 n
a 1 n
1 n - n
a
- 1
n
2 k
-
n
5.2 Notación sigma y límites de sumas finitas 339
c0, 1 n d, c1 n , 2 n d, Á n - 1
, c n , n d .
ƒ a 1 n ba1 n b + ƒ a2 n ba1 n b + Á + ƒ a k n ba1 n b + Á + ƒ a n n ba1 n b .
a1 - a k n b
2
ba 1 n b
3 b
n
3 a k
k = 1
2
2
k
k = 1 n3 = 1 - 2n3 + 3n2 + n
6n3 = 1 - a
.
1 sndsn + 1ds2n + 1d
b 3 n 6
Regla de la diferencia
Suma de los primeros n cuadrados
Numerador desarrollado
Hemos obtenido una expresión para la suma inferior que se cumple para cualquier n.
Tomando el límite de esta expresión cuando n : q , vemos que la suma inferior converge
cuando el número de subintervalos crece y el ancho de los subintervalos tiende a cero:
lím
n: q a1 - 2n3 + 3n2 + n
b = 1 - 2
6
6n 3
Reglas del valor constante
y el múltiplo constante
= 2
3 .
La aproximación de las sumas inferiores converge a 2>3.
Un cálculo similar prueba
que la aproximación con sumas superiores también converge a 2>3 (ejercicio 35). Cualquier
aproximación con suma finita, en el sentido del resumen que se presentó al final de