Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

634 Capítulo 8: Técnicas de integración
7. Cuando el grado de un polinomio f (x) es menor que el grado de
un polinomio g(x), ¿cómo se escribe f (x) > g(x) como una suma
de fracciones parciales, si g(x)
a. es un producto de factores lineales distintos?
b. consiste de un factor lineal repetido?
c. contiene un factor cuadrático irreducible?
¿Qué debe hacer si el grado de fnoes menor que el grado de g?
8. Si un integrando es un producto de la forma sen n x cos m x, en donde
m y n son enteros no negativos, ¿cómo se evalúa la integral?
Proporcione un ejemplo específico de cada caso.
9. ¿Qué sustituciones se hacen para evaluar integrales de sen mx sen
nx, sen mx cos nx y cos mx sen nx? Proporcione un ejemplo de cada
caso.
10. ¿Qué sustituciones se utilizan en ocasiones para transformar integrales
que incluyen y 2x en integrales
que puedan evaluarse de manera directa? Proporcione un
ejemplo de cada caso.
11. ¿Qué restricciones puede poner a las variables que se incluyen
en las tres sustituciones trigonométricas básicas, para asegurar-
2 - a 2
2a 2 - x 2 , 2a 2 + x 2
Capítulo 8 Ejercicios de práctica
Integración por medio de sustituciones
Evalúe las integrales en los ejercicios 1 a 82. Para transformar cada integral
en una forma básica, podría ser necesario utilizar una o más de
las técnicas de sustitución algebraica, completar el cuadrado, separación
de fracciones, división larga o sustitución trigonométrica.
1. 2.
L 6x23x2 + 5 dx
L x24x2 - 9 dx
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
2t dt
L t 4 t
L
+ 1
3 dt
29 - 4t 4
L y 3 dy
4 + y 4
y dy
L 25 + y 2
x dx
L 29 - 4x2 x dx
L 28x2 L
+ 1
xs1 - xd-1>2 L
dx
xs2x + 1d1>2 dx
11. 12.
13. 14.
15. 16.
cos 2t
L 1 + sen 2t dt
sen t
L 3 + 4 cos t dt
cos u du
L s1 + sen ud1>2 sen 2u du
L s1 - cos 2ud 2
L z -1>5s1 + z4>5d-1>2 L
dz
z2>3sz 5>3 + 1d2>3 dz
17. 18. sec x tan x e
L sec x dx
L sen 2x ecos 2x dx
se de que las sustituciones sean reversibles (es decir, que tengan
inversas)?
12. ¿Cómo se utilizan las tablas típicas de integrales? ¿Qué hacer si
una integral particular que se quiere evaluar no está en la tabla?
13. ¿Qué es una fórmula de reducción? ¿Cómo se deducen las fórmulas
de reducción típicas? ¿Cómo se utilizan las fórmulas de reducción?
Proporcione un ejemplo.
14. Usted está colaborando para producir un breve manual de cómo
hacer integración numérica, y está escribiendo acerca de la regla
del trapecio. (a) ¿Qué diría acerca de la regla y cómo usarla? ¿Cómo
alcanzar una precisión deseada? (b) ¿Qué diría si estuviese
escribiendo acerca de la regla de Simpson?
15. ¿Cómo se comparan los méritos relativos de la regla de Simpson
y de la regla del trapecio?
16. ¿Qué es una integral impropia del tipo I? ¿Del tipo II? ¿Cómo se
definen los valores de los diferentes tipos de integrales impropias?
Proporcione ejemplos.
17. ¿Qué criterios están disponibles para determinar la convergencia
y divergencia de integrales impropias que no pueden evaluarse de
manera directa? Proporcione ejemplos de su uso.
19. 20.
L eu sec2 se ud du
L eu sen se ud cos2 se ud du
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.
dy
L sy + 1d2y2 dx
L sx - 1d2x + 2y
2 dt
L t
- 2x
2 dy
L y + 4t + 5
2 dx
L 24x - x
- 4y + 8
2 dx
L 24x - x - 3
2
6 dx
L x24x2 4 dx
L 5x225x - 9
2 dt
L 1 + 25t
- 16
2
dt
L 9 + t 2
dt
L 29 - 4t 2
dt
L 216 - 9t 2
dx
L 249 - x 2
2 dx
L 21 - 4x 2
L sen-1 dx
L sx
x
dx
2
21 - x 2 + 1ds2 + tan-1 L
dy
L ys2 + ln yd
xd
dy
L
y ln y
5x22 L
dx
2x - 1 dx
41. 42. cos
L 2 3x dx
L sen2 x dx