Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

6.2 Cálculo de volúmenes por medio de casquillos cilíndricos 411
Tomando el límite cuando el grosor ¢x : 0 se obtiene la integral del volumen
A continuación generalizaremos el procedimiento utilizado en el ejemplo 1.
Método de los casquillos
V =
L0
=
L0
3
3
= 2p
L0
= 2p c 2
3 x3 + 3
2 x2 - 1
4 x4 3
d
0
= 45p
2 .
2psx + 1ds3x - x 2 d dx
2ps3x 2 + 3x - x 3 - x 2 d dx
3
s2x 2 + 3x - x 3 d dx
Suponga que la región acotada por la gráfica de una función continua no negativa y = f(x)
y el eje x en el intervalo finito cerrado [a, b] se encuentra a la derecha de la recta vertical
x = L (figura 6.20a). Daremos por sentado que a Ú L, por lo que la recta vertical podría
tocar la región, pero no atravesarla. Generamos un sólido, S, al hacer girar esta región alrededor
de la recta vertical L.
Eje de rotación
vertical
x L
y f(x)
a c k xk
x k1
(a)
b
x
Eje de rotación
vertical
x k1
a
∆x k
(b)
b
y f (x)
x k
c k
Altura del
rectángulo f(c k )
FIGURA 6.20 Cuando la región que se muestra en (a) se hace girar alrededor de la
recta vertical x = L, se produce un sólido que puede rebanarse en casquillos
cilíndricos. Un casquillo típico se muestra en (b).
Sea P una partición del intervalo [a, b], dada por los puntos a = x0 6 x16
6 xn = b, y sea ck el punto medio del k–ésimo subintervalo [xk - 1, xk]. La región de la figura
6.20a se aproxima por medio de rectángulos con base en esta partición de [a, b]. Un
rectángulo de aproximación típico tiene una altura ƒsckd y un ancho ¢xk = xk - xk - 1. Si
este rectángulo se hace girar alrededor de la recta vertical x = L, genera un casquillo, como
se muestra en la figura 6.20b. Una fórmula geométrica nos indica que el volumen del casquillo
obtenido a partir del rectángulo es
Á
¢Vk = 2p * radio promedio del casquillo * altura del casquillo * grosor
= 2p # sck - Ld # ƒsckd # ¢xk.
x