Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

8.6
8.6 Tablas de integrales y sistemas de álgebra por computadora (SAC) 593
Tablas de integrales y sistemas de álgebra por computadora (SAC)
Como hemos estudiado, las técnicas básicas de integración son la sustitución y la integración
por partes. Aplicamos estas técnicas para transformar integrales no conocidas en integrales
cuyas formas reconocemos o podemos encontrar en una tabla. Pero, ¿de dónde vienen
las integrales que conforman las tablas? Vienen de la aplicación de sustituciones e integración
por partes, de la diferenciación de funciones importantes que aparecen en la práctica
o en aplicaciones. El resultado se coloca en una tabla (como hicimos al crear la tabla 8.1).
Cuando una integral coincide con una integral de la tabla o puede transformarse en una de
tales integrales con alguna combinación de álgebra, trigonometría, sustitución o algún otro
cálculo apropiado, el resultado puede utilizarse para resolver el problema de integración
que se tenga.
Los sistemas de álgebra por computadora (SAC), conocidos también con el nombre
genérico de software matemático, también pueden usarse para evaluar una integral, si es
que tal sistema está disponible. Sin embargo, es conveniente tener en cuenta que existen
muchas funciones relativamente sencillas, como sen(x 2 ) o 1> ln x, en las que incluso los
sistemas de cómputo más poderosos son incapaces de encontrar fórmulas explícitas para
la antiderivada, ya que no existen tales fórmulas.
En esta sección analizaremos cómo utilizar tablas y sistemas de álgebra por computadora
para evaluar integrales.
Tablas de integrales
Al final de este libro, después del índice, se ofrece una tabla de integrales. (Tablas más
extensas aparecen en antologías como CRC Mathematical Tables, que contienen miles de
integrales). Las fórmulas de integración se establecen en términos de constantes a, b, c, m,
n, etcétera. Por lo regular estas constantes toman cualquier valor real y no necesitan ser
enteros. Las restricciones ocasionales en sus valores se indican en las fórmulas. Por ejemplo,
la fórmula 5 requiere que n Z –1, y la fórmula 11 que n Z 2.
En las fórmulas se supone que las constantes no toman valores que impliquen la división
entre cero ni la extracción de raíces pares de números negativos. Por ejemplo, la
fórmula 8 supone que a Z 0, y las fórmulas 13(a) y (b) no pueden utilizarse, a menos que b
sea positiva.
En los ejemplos 1 a 5 de esta sección, las integrales pueden evaluarse por medio de
manipulación algebraica, sustitución o integración por partes. A continuación se ilustra
cómo determinar las integrales utilizando la tabla de integrales.
EJEMPLO 1 Determinar
L
Solución Utilizamos la fórmula 8 (no la 7, la cual requiere que n Z –1):
xs2x + 5d-1 dx.
L
Con a = 2 y b = 5, tenemos
xsax + bd-1 dx = x a
L
EJEMPLO 2 Determinar
xs2x + 5d-1 dx = x
2
L
- b
a 2 ln ƒ ax + b ƒ + C.
- 5
4 ln ƒ 2x + 5 ƒ + C.
dx
x22x + 4 .