Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

26. Regla de Leibniz para derivadas de orden superior de productos
La regla de Leibniz para derivadas de orden superior de productos
de funciones diferenciables dice que
a.
b.
c.
d 2 suyd
dx 2
d 3suyd dx 3 = d 3u dx 3 y + 3 d 2u dy
2
dx dx
d n suyd
dx n
= d 2 u du
y + 2 2
dx dx dy
dx + u d 2 y
dx 2
= d n u
dxn y + n d n - 1 u dy
+ Á
n - 1 dx dx
+
Las ecuaciones en las partes (a) y (b) son casos especiales de
la ecuación en la parte (c). Obtenga la ecuación de la parte (c)
por inducción matemática usando
Á + u d n y
dx n .
a m m
b + a b =
k k + 1
+ nsn - 1d Á sn - k + 1d
k!
m!
k!sm - kd! +
du
+ 3
dx d 2y dx 2 + u d 3y dx 3
d n - ku dx n - k d ky dx k
m!
sk + 1d!sm - k - 1d! .
27. El periodo de un reloj de péndulo El periodo T de un reloj de
péndulo (tiempo para una oscilación completa) está dado por la
fórmula donde T está medido en segundos,
32.2 pies>seg y L, la longitud del péndulo, está medida en pies.
Encuentre aproximadamente:
2
T g =
2 = 4p 2 L>g,
Capítulo 3 Proyectos de aplicación tecnológica
Capítulo 3 Proyectos de aplicación tecnológica 243
a. la longitud del péndulo de un reloj cuyo periodo es T = 1 seg.
b. el cambio dT en T si el péndulo del inciso (a) se alarga 0.01 pies.
c. el tiempo que se adelanta o atrasa el reloj en un día como resultado
del cambio de periodo por la cantidad dT encontrada
en el inciso (b).
28. Cubo de hielo Suponga que un cubo de hielo conserva su forma
cúbica conforme se derrite. Si llamamos a la longitud de sus aristas
s, su volumen es y su área superficial es 6s Suponga
que V y s son funciones diferenciables del tiempo t. También
suponga que el volumen del cubo disminuye a una razón que es
proporcional a su área superficial. (Esta última suposición parece
bastante razonable cuando pensamos que el hielo se derrite en la
superficie: al cambiar la cantidad de superficie cambia la cantidad
de hielo expuesto para derretirse). En términos matemáticos,
2 V = s .
3
dV
dt = -ks6s2 d, k 7 0.
El signo menos significa que el volumen está disminuyendo.
Suponga que el factor de proporcionalidad k es constante. (Probablemente
depende de muchos factores, tales como la humedad
relativa del aire circundante, la temperatura del aire y la incidencia
o ausencia de luz solar, por nombrar sólo algunos). Asuma que hay
un conjunto de condiciones particulares por las que el cubo pierde
1> 4 de su volumen durante la primera hora, y que el volumen es
V0 cuando t = 0. ¿Cuánto tardará en derretirse el cubo de hielo?
Módulo Mathematica/Maple
Convergencia de pendientes secantes a la función derivada
Verá la recta secante entre puntos consecutivos en una curva, y observará qué pasa cuando la distancia entre ellos se hace pequeña. La función, los
puntos dados y las rectas secantes están trazados en una sola gráfica, mientras que una segunda gráfica compara las pendientes de las rectas secantes
con la función derivada.
Módulo Mathematica/Maple
Derivadas, pendientes, rectas tangentes y animación
Partes I-III. Verá la derivada en un punto, la linealización de una función y la derivada de una función. Aprenderá cómo trazar la función y seleccionar
tangentes en la misma gráfica.
Parte IV (Trazo de muchas tangentes)
Parte V (Animación) Las partes IV y V del módulo se pueden usar para animar rectas tangentes moviéndose a lo largo de la gráfica de una
función.
Módulo Mathematica/Maple
Convergencia de pendientes secantes a la función derivada
Verá derivadas laterales derecha e izquierda.
Módulo Mathematica/Maple
Movimiento a lo largo de una recta: Posición : Velocidad : Aceleración
Observe dramáticas imágenes animadas de las relaciones obtenidas entre las funciones posición, velocidad y aceleración. Las figuras del texto se
pueden animar.