Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

–1 1
Punto de inflexión
donde x 3
2
1
y
(1, 2)
Punto de inflexión
donde x 3
y 1
Asíntota
horizontal
sx + 1d2
FIGURA 4.31 La gráfica de y =
1 + x
(ejemplo 7).
2
x
4.4 Concavidad y trazado de curva 273
4. Crecimiento y decrecimiento. Vemos que en el intervalo s - q, -1d,
la derivada
ƒ¿sxd 6 0 y la curva es decreciente. En el intervalo s -1, 1d, ƒ¿sxd 7 0 y la curva es
creciente; es decreciente en s1, q d,
donde nuevamente ƒ¿sxd 6 0.
5. Puntos de inflexión. Observe que el denominador de la segunda derivada siempre es
positivo (paso 2). La segunda derivada ƒ– es cero cuando x = -23, 0, y 23.
La segunda derivada cambia de signo en cada uno de estos puntos: es negativa en
A - q, - 23B , positiva en A - 23, 0B , negativa en A0, 23B , y positiva nuevamente
en A 23, q B . En consecuencia, cada uno de estos puntos es un punto de inflexión. La
curva es cóncava hacia abajo en el intervalo A - q, - 23B , cóncava hacia arriba en
A - 23, 0B , cóncava hacia abajo en A0, 23B , y nuevamente cóncava hacia arriba
en A 23, q B .
6. Asíntotas. Desarrollando el numerador de f (x) y después dividiendo tanto el numerador
como el denominador entre , obtenemos
ƒsxd =
sx + 1d2
1 + x2 = x2 + 2x + 1
1 + x2 = 1 + s2>xd + s1>x2d s1>x 2 .
d + 1
Desarrollando el numerador
Dividiendo entre
Vemos que cuando y que ƒsxd : 1 cuando x : - q . Por lo tanto,
la recta y = 1 es una asíntota horizontal.
Como f decrece en s - q, -1d y después crece en s -1, 1d, sabemos que
ƒs -1d = 0 es un mínimo local. A pesar de que f decrece en s1, q d, nunca cruza la
asíntota horizontal y = 1 en ese intervalo (se aproxima a la asíntota por abajo). De
manera que la gráfica nunca es negativa, y ƒs -1d = 0 también es un mínimo absoluto.
De la misma manera, ƒs1d = 2 es un máximo absoluto, ya que la gráfica nunca
cruza la asíntota y = 1 en el intervalo s - q, -1d,
aproximándose a ella por abajo.
Por lo tanto, no hay asíntotas verticales (el rango de f es 0 … y … 2).
-
ƒsxd : 1 x : q
+
7. En la figura 4.31 está dibujada la gráfica de f. Observe como la gráfica es cóncava hacia
abajo al aproximarse a la asíntota horizontal y = 1 cuando x : - q , y cóncava
hacia arriba en su aproximación a y = 1 cuando x : q .
Conocimiento de las funciones a partir de sus derivadas
x 2
Como vimos en los ejemplos 6 y 7, podemos averiguar casi todo lo que necesitamos saber
acerca de una función dos veces diferenciable y = ƒsxd examinando su primera derivada.
Es posible encontrar en qué parte la gráfica de la función sube o baja, y en dónde se alcanzan
todos los extremos locales; podemos derivar y¿ para saber hacia dónde abre la gráfica
cuando pasa por los intervalos de crecimiento y decrecimiento, e incluso podemos determinar
la forma de la gráfica de la función. Lo que no podemos averiguar a partir de la derivada,
es cómo colocar la gráfica en el plano xy. Pero, como descubrimos en la sección
4.2, el único dato adicional que necesitamos para ello es el valor de f en un punto. Finalmente,
la derivada no nos da información sobre las asíntotas, que se encuentran usando límites
(secciones 2.4 y 2.5).
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