Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

506 Capítulo 7: Funciones trascendentes
cen hincapié en el hecho de que y decrece. Si y 0 es el número de núcleos radiactivos presentes
en el instante cero, su número en cualquier instante posterior t será
EJEMPLO 3 Vida media de un elemento radiactivo
La vida media de un elemento radiactivo es el tiempo que se requiere para que la mitad
de los núcleos de una muestra del mismo se desintegren. Resulta interesante mencionar
que la vida media es una constante que no depende del número de núcleos radiactivos que
había al principio en la muestra, sino de la sustancia radiactiva de que se trate.
Para comprender por qué, sea y0 el número de núcleos radiactivos al principio en la
muestra. Entonces, el número y de núcleos en cualquier instante t será y = y0 Busca- e -kt .
mos el valor de t en el que el número de núcleos radiactivos presentes sea igual a la mitad
del número original:
Regla del recíproco para logaritmos
Este valor de t es la vida media del elemento. Depende únicamente del valor de k; el número
y 0 no ejerce ninguna influencia.
EJEMPLO 4 Vida media del polonio 210
La vida efectiva de radiactividad del polonio 210 es tan breve que se mide en días en lugar
de hacerlo en años. En una muestra que inicialmente tenía y 0 átomos radiactivos, el número
de átomos radiactivos restantes, al cabo de t días, es
Determine la vida media del elemento.
Solución
Vida media =
EJEMPLO 5 Fechado con carbono 14
y = y0 e -kt , k 7 0.
y0 e -kt = 1
2 y0
e -kt = 1
2
-kt = ln 1
2
t =
Vida media =
y = y0 e-5* 10-3 t .
=
ln 2
k
ln 2
k
ln 2
5 * 10 -3
L 139 días
= -ln 2
Ecuación (7)
En ocasiones, el decaimiento de elementos radiactivos puede utilizarse para fechar hechos
ocurridos en el pasado de la Tierra. En un organismo vivo, la razón de carbono radiactivo,
carbono 14, a carbono ordinario permanece constante durante su vida, siendo aproximada-
ln 2
k
La k de la ecuación de decaimiento
del polonio
(7)