Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

72 Capítulo 1: Preliminares
5. a 7 0 Q 1 a 7 0
ƒ ƒ ƒ ƒ
ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ
6.
7.
20. Pruebe que las siguientes desigualdades se cumplen para cualquier
número real a y b.
a. a 6 b si y sólo si a
b. a - b Ú a - b 2 a 6 b 6 0 Q
6 b
1
b 6 1 0 6 a 6 b Q
a
1
b 6 1 a
Generalización de la desigualdad triangular Demuestre, mediante
inducción matemática, que las desigualdades de los ejercicios 21 y
22 se satisfacen para cualesquiera n números reales (El
apéndice 1 revisa la inducción matemática).
21.
22. ƒ a1 + a2 +
23. Demuestre que si f es tanto par como impar, entonces ƒsxd = 0
para toda x en el dominio de f.
24. a. Descomposiciones par-impar Sea f una función cuyo dominio
es simétrico respecto al origen, esto es, que -x pertenece
al dominio siempre que x también pertenezca a él. Pruebe que
f es la suma de una función par y una función impar:
ƒsxd = Esxd + Osxd,
donde E es una función par y O es una función impar. (Sugerencia:
Sea Esxd = sƒsxd + ƒs -xdd>2 demuestre que
Es -xd = Esxd, de manera que E es par. Después demuestre
que Osxd = ƒsxd - Esxd es impar).
b. Unicidad Demuestre que existe sólo una manera de escribir
f como la suma de una función par y una impar. (Sugerencia:
Una manera se mencionó en el inciso (a). Si también
ƒsxd = E1sxd + O1sxd donde E1 es par y O1 es impar, demuestre
que E - E1 = O1 - O. Después use el ejercicio 23
para probar que E = E1 y O = O1).
Á + an ƒ Ú ƒ a1 ƒ - ƒ a2 ƒ - Á ƒ a1 + a2 +
- ƒ an ƒ
Á + an ƒ … ƒ a1 ƒ + ƒ a2 ƒ + Á a1, a2, Á , an.
+ ƒ an ƒ
Exploraciones con calculadoras graficadoras o
computadoras con algún software para graficar.
Efectos de los parámetros
25. ¿Qué le pasa a la gráfica de conforme
a. a cambia mientras b y c permanecen fijos?
b. b cambia (a y c fijos, )?
c. c cambia (a y b fijos, )?
26. ¿Qué le pasa a la gráfica de y = asx + bd conforme
a. a cambia mientras b y c permanecen fijos?
3 y = ax
a Z 0
a Z 0
+ c
2 + bx + c
b. b cambia (a y c fijos, a Z 0)?
c. c cambia (a y b fijos, a Z 0)?
27. Encuentre todos los valores de la pendiente de la recta
y = mx + 2 para los que la intersección con el eje x excede 1>2 .
Geometría
Capítulo 1 Proyectos de aplicación tecnológica
28. El centro de masa de un objeto se mueve a una velocidad constante
v a lo largo de una recta que pasa por el origen. La figura siguiente
muestra el sistema coordenado y la recta de movimiento. Los
puntos indican las posiciones del objeto en cada segundo. ¿Por
qué todas las áreas A1, A2, Á , A5 de la figura son iguales? Como
en la ley de áreas iguales de Kepler (vea la sección 13.6), la recta
que une el centro de masa del objeto recorre áreas iguales en
tiempos iguales.
Kilómetros
10
5
y
A 5
0 5 10 15
29. a. Encuentre la pendiente de la recta desde el origen al punto medio
P del lado AB del triángulo ilustrado en la figura siguiente
sa, b 7 0d.
B(0, b)
O
t 6
b. ¿Cuándo OP es perpendicular a AB?
y
A 4
t 5
A 3
A 2
yt
A 1
Kilómetros
Un vistazo
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Módulo Mathematica/Maple
Trabajo con modelos matemáticos: Resortes, conducción automovilística segura, radioactividad, árboles, peces y mamíferos.
Construya e interprete modelos matemáticos; analícelos y mejórelos, y haga predicciones a partir de ellos.
P
yt
t 2
A(a, 0)
t 1
x
x