Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

368 Capítulo 5: Integración
71. ƒsxd = x 3 - 4x 2 + 3x, [0, 4]
72.
73.
74.
ƒsxd = 2x 4 - 17x 3 + 46x 2 - 43x + 12, c0, 9
2 d
ƒsxd = sen 2x cos x
, [0, 2p]
3
ƒsxd = x cos px, [0, 2p]
u(x)
En los ejercicios 75 a 78, sea Fsxd = 1a ƒstd dt para a, u y f estipulados.
Use un software matemático para realizar los pasos siguientes y
contestar las preguntas que se plantean.
a. Encuentre el dominio de F.
b. Calcule F¿sxd y determine sus ceros. ¿En qué puntos de su dominio
F es creciente? ¿En cuáles es decreciente?
c. Calcule F–sxd y determine sus ceros. Identifique los extremos locales
y los puntos de inflexión de F.
5.5
Las integrales indefinidas y la regla de sustitución
d. Use la información de los incisos (a)–(c) para hacer un dibujo de
en su dominio. Después grafique F(x) con su software
matemático para apoyar su dibujo.
75.
76.
77.
78. a = 0, usxd = 1 - x 2 , ƒsxd = x 2 a = 0, usxd = 1 - x, ƒsxd = x
- 2x - 3
2 a = 0, usxd = x
- 2x - 3
2 , ƒsxd = 21 - x 2
a = 1, usxd = x 2 , ƒsxd = 21 - x 2
y = Fsxd
En los ejercicios 79 y 80, suponga que f es continua y que u(x) es dos
veces diferenciable.
usxd
d
79. Calcule ƒstd dt y verifique su respuesta usando un soft-
dxLa ware matemático.
d 2
usxd
80. Calcule y verifique su respuesta usando un soft-
dx
ware matemático.
2 ƒstd dt
La
Una integral definida es un número definido al tomar el límite de sumas de Riemann asociadas
a particiones de un intervalo cerrado finito cuya norma tiende a cero. El teorema
fundamental del cálculo dice que una integral definida de una función continua puede
calcularse fácilmente si somos capaces de encontrar una antiderivada de la función. En general,
encontrar antiderivadas resulta más difícil que encontrar derivadas. Sin embargo,
vale la pena el esfuerzo de aprender las técnicas para calcularlas.
Recordemos que en la sección 4.8 se mencionó que el conjunto de todas las antiderivadas
de una función f se llama integral indefinida de f respecto de x, lo cual se denota
mediante
La conexión entre las antiderivadas y la integral definida establecida en el teorema fundamental
explica ahora esta notación. Cuando encuentre la integral indefinida de una función
f, recuerde que siempre se debe incluir una constante arbitraria C.
Debemos distinguir cuidadosamente entre integrales definidas e indefinidas. Una integral
definida 1 es un número. Una integral indefinida 1ƒsxd dx es una función
más una constante arbitraria C.
Hasta ahora solamente hemos podido encontrar antiderivadas de funciones que reconocemos
claramente como derivadas. En esta sección empezaremos a desarrollar técnicas
más generales para encontrar antiderivadas. Las primeras técnicas de integración que desarrollaremos
se obtienen al invertir las reglas para encontrar derivadas, como la regla de
las potencias y la regla de la cadena.
b
ƒsxd dx.
L
a ƒsxd dx
La regla de potencias en la forma integral
Si u es una función diferenciable de x y n es un número racional distinto de -1, la regla de
la cadena nos dice que
d
dx
+ 1
un du
a b = un
n + 1 dx .