Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

510 Capítulo 7: Funciones trascendentes
T
b. Determine el precio unitario p(10) para un pedido de 10 unidades
y el precio unitario p(90) para un pedido de 90 unidades.
c. El departamento de ventas se pregunta si este descuento es
tan grande como para que el ingreso de la compañía,
rsxd = x # psxd, llegue a ser menor en un pedido de 100 unidades
que, digamos, en uno de 90. Asegúrese de mostrar que
r tiene un valor máximo en x = 100.
d. Grafique la función ingreso rsxd = xpsxd,
para
0 … x … 200.
13. Interés compuesto de manera continua Usted acaba de depositar
A0 dólares en una cuenta de banco que paga 4% de interés
compuesto de manera continua.
a. ¿Cuánto dinero tendrá en la cuenta dentro de 5 años?
b. ¿Cuánto tardará en duplicarse la cantidad original? ¿Y en triplicarse?
14. La pregunta de John Napier John Napier (1550-1617), el hacendado
escocés que inventó los logaritmos, fue la primera persona
en responder esta pregunta: ¿qué pasa si se invierte una cantidad
de dinero a 100% de interés compuesto continuo?
a. ¿Qué pasa?
b. ¿Cuánto tarda en triplicarse el dinero?
c. ¿Cuánto se puede ganar en un año?
Justifique sus respuestas.
15. El testamento de Benjamín Franklin El Franklin Technical
Institute de Boston debe su existencia a una cláusula del testamento
de Benjamín Franklin. Parte de esa cláusula dice:
De ser posible, me gustaría seguir siendo útil, aún después
de muerto, para la formación y el progreso de otros jóvenes
que puedan ser útiles a su país, tanto en Boston como en
Filadelfia. Para tal fin lego 2000 libras esterlinas, de las
cuales 1000 se destinarán en fideicomiso a los habitantes de
Boston, Massachusetts, y el resto a los habitantes de la ciudad
de Filadelfia, para los usos, intereses y propósitos aquí
citados y declarados.
El plan de Franklin consistía en que se prestara dinero a jóvenes
aprendices, con una tasa de 5% de interés y con la condición de
que el acreedor pagara cada año, junto
Á con el interés anual, una décima parte del capital, de
manera que el total se utilice en empréstitos para nuevos
beneficiarios Á Si este plan se aplica con éxito y sin interrupción
durante 100 años, los fondos llegarán a 131,000 libras,
de las cuales los administradores del fideicomiso
deberán destinar 100,000 a la realización de obras públicas
elegidas a su discreción Á Las 31,000 libras restantes
seguirán generando intereses durante 100 años más en la
forma descrita Á De no interrumpirse esta operación por
algún desafortunado accidente, al final de este segundo
periodo la suma acumulada será de 4,061,000 libras.
No siempre fue posible encontrar tantos prestatarios como
Franklin esperaba, pero los administradores del fideicomiso se
esforzaron al máximo. En enero de 1894, cien años después de
haberse constituido a partir del donativo de Franklin, el fondo
había crecido de 1000 libras a casi 90,000. En cien años, el capital
se multiplicó casi 90 veces, en lugar de las 131 que Franklin
imaginó.
¿Qué tasa de interés compuesto continuo habría multiplicado
90 veces el capital original de Franklin en un plazo de cien
años?
16. (Continuación del ejercicio 15). Cuando Benjamín Franklin
calculó que las 1000 libras originales aumentarían a 131,000
en cien años, usó una tasa de interés compuesto anual de 5%,
acumulable una vez al año. ¿Qué tasa de interés anual acumulable
de manera continua multiplicaría la suma original por 131 en cien
años?
17. Radón 222 La ecuación de decaimiento del gas radón 222 es
con t en días. ¿Cuánto tardará una muestra de radón
sellada al vacío en reducirse a 90% de su valor original?
18. Polonio 210 La vida media del polonio es de 139 días, pero la
muestra ya no será útil cuando se haya desintegrado 95% de los
núcleos radiactivos presentes en ella al principio. ¿Hasta cuántos
días después de su llegada podrá usarse esa muestra de polonio.
19. La vida media de un núcleo radiactivo Los físicos que usan la
ecuación de la radiactividad y = y0 llaman vida media de un
e-kt
y = y0 e-0.18t ,
núcleo radiactivo al número 1> k. Para el radón es 1> 0.18 = 5.6
días. La vida media de un núcleo de carbono 14 es de más de
8000 años. Demuestre que 95% de los núcleos radiactivos presentes
en la muestra se desintegrarán antes de tres vidas medias, es
decir, en el instante t = 3>k. Así, la vida media del núcleo repre-
senta un método sencillo para estimar cuánto dura la radiactividad
de una muestra.
20. Californio 252 ¿Qué elemento cuesta 27 millones de dólares
por gramo y sirve para combatir el cáncer cerebral, analizar el
contenido de azufre del carbón y detectar explosivos ocultos? Se
trata del californio 252, un isótopo radiactivo tan raro, que en el
mundo occidental sólo se han obtenido 8 g desde que Glenn
Seaborg lo descubrió en 1950. La vida media del isótopo es de
2.645 años: lo suficientemente larga para ser útil y lo bastante
corta para tener alta radiactividad por masa unitaria. Un microgramo
del isótopo libera 170 millones de neutrones por segundo.
a. ¿Cuál es el valor de k en la ecuación de decaimiento de este
isótopo?
b. ¿Cuál es la vida media del isótopo? (Vea el ejercicio 19).
c. ¿Cuánto tardará en desintegrarse 95% de los núcleos radiactivos
de una muestra?
21. Enfriamiento de la sopa Suponga que un tazón de sopa se enfría,
pasando de 90 a 60°C en 10 minutos, en una habitación con
temperatura de 20°C. Responda las siguientes preguntas usando
la ley del enfriamiento de Newton.
a. ¿Cuánto tiempo tardará la sopa en enfriarse a 35°C?
b. En lugar de dejarla en la habitación, la sopa, con temperatura
de 90°C, se guarda en un congelador a –15°C. ¿Cuánto tardará
en enfriarse hasta alcanzar los 35°C?