Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

120 Capítulo 2: Límites y continuidad
1
6
5
4
3
2
1
y
x 2
y
x
1
2 3 x 1
2x 4 2 2x 4
0
1
1 2 3 4 x
2
3
Asíntota
vertical
x 2
La distancia vertical entre la
curva y la recta tiende
a cero conforme x →
y
x
1
2
Asíntota
oblicua
FIGURA 2.47 La gráfica de
ƒsxd = sx tiene asíntota
vertical y asíntota oblicua (ejemplo 8).
2 - 3d>s2x - 4d
x
EJEMPLO 8 Una función racional con el grado del numerador mayor que el grado del
denominador
Encontrar las asíntotas de la gráfica de
Solución Estamos interesados en el comportamiento cuando y también
cuando donde el denominador es cero. Dividimos entre sx 2 x : ; q
x : 2,
s2x - 4d - 3d:
Esto nos indica que
Como y límx:2 la recta x = 2 es una asíntota vertical
bilateral. Cuando x : ; q , el residuo se aproxima a 0 y ƒsxd : sx>2d + 1. La recta y
= (x/2) + 1 es una asíntota oblicua tanto por la derecha como por la izquierda (figura 2.47).
- límx:2 ƒsxd = -q ,
+ ƒsxd = q
Observe, en el ejemplo 8, que si el grado del numerador en una función racional es mayor
que el grado del denominador, el límite es + q o - q , dependiendo del signo del numerador
y del denominador cuando |x| se hace más grande.
Términos dominantes
ƒsxd = x2 - 3
2x - 4
De todas las observaciones que podamos hacer rápidamente acerca de la función
del ejemplo 8, probablemente la más útil es que
Esto nos indica inmediatamente que
ƒsxd L x
2
ƒsxd L
x
+ 1
2
2x - 4x 2 - 3
x2 - 2x
2x - 3
2x - 4
1
ƒsxd = x
2
ƒsxd = x2 - 3
2x - 4 .
ƒsxd = x2 - 3
2x - 4
+ 1
1
2x - 4
x 1
= + 1 +
2 2x - 4 .
123 14243
lineal residuo
+ 1 +
1
2x - 4 .
Para x numéricamente grande
Para x cerca de 2
Si queremos saber cómo se comporta f, ésta es la manera de encontrarlo. Se comporta como
y = (x/2) + 1 cuando x es numéricamente grande, y la contribución de 1/(2x – 4) al va